Matrice dont une puissance est diagonalisable

La matrice $A^p$ est diagonalisable donc on a la décomposition (avec tous les espaces propres nuls sauf un nombre fini d’entre eux):
$$\mathbb{C}^n=\bigoplus_{\lambda\in \mathbb{C}}\mathrm{Ker}(A^p-\lambda I_n).$$On cherche maintenant à avoir la même décomposition mais pour les espaces propres de $A$. Pour cela, prenons $\lambda\neq0$, ainsi le polynôme $X^p-\lambda$ est scindé à racines simples, de racines $\mu_1,\dots,\mu_p$ et le lemme des noyaux permet de dire que:
$$\mathrm{Ker}(A^p-\lambda I_n)=\bigoplus_{i=1}^n\mathrm{Ker}(A-\mu_i I_n).$$Donc on a décomposé tous les espaces propres de $A$ comme des espaces propres de $A$, sauf pour $\lambda=0$. Or, dans ce cas, on a par hypothèse:
$$\mathrm{Ker}(A^p-\lambda I_n)=\mathrm{Ker}(A^p)=\mathrm{Ker}(A),$$et ainsi $\mathbb{C}^n$ est une somme d’espaces propres de $A$. Donc $A$ est diagonalisable, ce qui conclut.