Matrices orthogonales à coefficients positifs

Montrons que $\bigl|\mathcal{O}_n(\mathbb{R})\cap\mathcal{M}_n(\mathbb{R}^{+})\bigr|=n!,$ et que ces matrices sont exactement les matrices de permutation.

Soit $A=(a_{ij})\in\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ avec $a_{ij}\geqslant 0$ pour tous $i,j$. Notons $C_1,\dots,C_n$ ses colonnes.

Étape 1 : L’orthogonalité de $A$ signifie que les colonnes sont orthonormales. Pour $i\neq j$,
$$0=\langle C_i,C_j\rangle=\sum_{k=1}^{n}a_{ki}a_{kj},$$somme de termes positifs ou nuls. Chacun est donc nul : $\forall k,\ a_{ki}a_{kj}=0$.
Autrement dit, deux coefficients d’une même ligne ne peuvent être simultanément non nuls.

Étape 2 : La relation $A^{\mathsf T}A=I_n$ entraîne $AA^{\mathsf T}=I_n$, donc les lignes de $A$ sont elles aussi unitaires : pour tout $k$,
$$\sum_{j=1}^{n}a_{kj}^{2}=1 .$$D’après l’étape 1, un seul terme de cette somme est non nul, disons celui d’indice $j=\sigma(k)$ : il vaut donc $a_{k\sigma(k)}^{2}=1$, et la positivité donne $a_{k\sigma(k)}=1$.

Étape 3 : L’application $\sigma:\llbracket 1,n\rrbracket\to\llbracket 1,n\rrbracket$ ainsi définie est injective : si $\sigma(k)=\sigma(\ell)=j$ avec $k\neq \ell$, la colonne $C_j$ contiendrait deux coefficients égaux à $1$, d’où $\|C_j\|^{2}\geqslant 2$, contredisant $\|C_j\|=1$. Une injection d’un ensemble fini dans lui-même étant bijective, $\sigma\in\mathfrak{S}_n$ et $a_{ij}=\delta_{j,\sigma(i)}$, $A$ est la matrice de permutation associée à $\sigma$.

Réciproquement, toute matrice de permutation $P_\sigma$ est à coefficients dans $\{0,1\}\subset\mathbb{R}^{+}$, et ses colonnes forment une permutation de la base canonique, donc une famille orthonormale : $P_\sigma\in\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. $\blacksquare$