Mieux vaut tard que jamais pour mesurer les intervalles.

Montrons que
$$E=\bigsqcup_{k=1}^{80}\ \bigl]k,\ x_k\bigr[,\quad \text{et} \quad \sum_{k=1}^{80}\bigl(x_k-k\bigr)=2025 \quad \text{avec } x_{k} \text { que l'on précisera} .$$La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1,\dots,80\}$, et
$$f'(x)=-\sum_{k=1}^{80}\frac{k}{(x-k)^{2}}<0 :$$elle est strictement décroissante sur chacun des $81$ intervalles délimités par les pôles.

Sur $\,]-\infty,1[\,$ : tous les termes sont négatifs, donc $f<0<\frac85$. Aucun point de $E$.

Sur $\,]k,k+1[\,$ pour $1\leqslant k\leqslant 79$ : le terme $\frac{k}{x-k}$ tend vers $+\infty$ en $k^{+}$ et le terme $\frac{k+1}{x-k-1}$ vers $-\infty$ en $(k+1)^{-}$, les autres restant bornés. Donc $f$ décroît continûment de $+\infty$ à $-\infty$ et prend la valeur $\frac85$ en un unique point $x_k$.

Sur $\,]80,+\infty[\,$ : $f$ décroît de $+\infty$ à $0^{+}$, et prend la valeur $\frac85$ en un unique point $x_{80}>80$.

Par décroissance stricte, $f>\frac85$ exactement sur $\,]k,x_k[\,$ dans chaque cas. Ces $80$ intervalles sont deux à deux disjoints, chacun étant contenu dans $\,]k,k+1[\,$ ou dans $\,]80,+\infty[\,$.

Les $x_k$ sont les $80$ solutions de $f(x)=\frac85$. En multipliant cette équation par $\prod_{j=1}^{80}(x-j)$, les $x_{k}$ sont exactement les racines du polynôme
$$P(X)=\frac85\prod_{j=1}^{80}(X-j)\ -\ \sum_{k=1}^{80}k\prod_{j\neq k}(X-j),$$et il y en a $80$, toutes simples et distinctes d’après l’étude ci-dessus, ce sont donc toutes les racines de $P$.

Posons $S=\sum_{j=1}^{80}j=3240$. Le premier produit vaut $X^{80}-SX^{79}+\cdots$, et chaque $\prod_{j\neq k}(X-j)$ est unitaire de degré $79$, d’où
$$P(X)=\frac85X^{80}-\left(\frac85S+S\right)X^{79}+\cdots=\frac85X^{80}-\frac{13}{5}S\,X^{79}+\cdots$$Les relations coefficients–racines donnent
$$\sum_{k=1}^{80}x_k=\frac{\frac{13}{5}S}{\frac85}=\frac{13S}{8}=\frac{13\cdot 3240}{8}=5265,$$et par conséquent
$$\sum_{k=1}^{80}\bigl(x_k-k\bigr)=5265-3240=2025. \qquad\blacksquare$$