Mieux vaut tard que jamais pour mesurer les intervalles.

Montrons que
$$E=\bigsqcup_{k=1}^{80}\ \bigl]k,\ x_k\bigr[,\quad \text{et} \quad \sum_{k=1}^{80}\bigl(x_k-k\bigr)=2025 \quad \text{avec } x_{k} \text { que l'on précisera} .$$La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1,\dots,80\}$, et
$$f'(x)=-\sum_{k=1}^{80}\frac{k}{(x-k)^{2}}<0 :$$elle est strictement décroissante sur chacun des $81$ intervalles délimités par les pôles.

Sur $\,]-\infty,1[\,$ : tous les termes sont négatifs, donc $f<0<\frac85$. Aucun point de $E$.

Sur $\,]k,k+1[\,$ pour $1\leqslant k\leqslant 79$ : le terme $\frac{k}{x-k}$ tend vers $+\infty$ en $k^{+}$ et le terme $\frac{k+1}{x-k-1}$ vers $-\infty$ en $(k+1)^{-}$, les autres restant bornés. Donc $f$ décroît continûment de $+\infty$ à $-\infty$ et prend la valeur $\frac85$ en un unique point $x_k$.

Sur $\,]80,+\infty[\,$ : $f$ décroît de $+\infty$ à $0^{+}$, et prend la valeur $\frac85$ en un unique point $x_{80}>80$.

Par décroissance stricte, $f>\frac85$ exactement sur $\,]k,x_k[\,$ dans chaque cas. Ces $80$ intervalles sont deux à deux disjoints, chacun étant contenu dans $\,]k,k+1[\,$ ou dans $\,]80,+\infty[\,$.

Les $x_k$ sont les $80$ solutions de $f(x)=\frac85$. En multipliant cette équation par $\prod_{j=1}^{80}(x-j)$, les $x_{k}$ sont exactement les racines du polynôme
$$P(X)=\frac85\prod_{j=1}^{80}(X-j)\ -\ \sum_{k=1}^{80}k\prod_{j\neq k}(X-j),$$et il y en a $80$, toutes simples et distinctes d’après l’étude ci-dessus, ce sont donc toutes les racines de $P$.

Posons $S=\sum_{j=1}^{80}j=3240$. Le premier produit vaut $X^{80}-SX^{79}+\cdots$, et chaque $\prod_{j\neq k}(X-j)$ est unitaire de degré $79$, d’où
$$P(X)=\frac85X^{80}-\left(\frac85S+S\right)X^{79}+\cdots=\frac85X^{80}-\frac{13}{5}S\,X^{79}+\cdots$$Les relations coefficients–racines donnent
$$\sum_{k=1}^{80}x_k=\frac{\frac{13}{5}S}{\frac85}=\frac{13S}{8}=\frac{13\cdot 3240}{8}=5265,$$et par conséquent
$$\sum_{k=1}^{80}\bigl(x_k-k\bigr)=5265-3240=2025. \qquad\blacksquare$$

une fois pour tous les millésimes, remplaçons 80 par $n$ et 8/5 par A.
L’argumentation de visitor est inchangée, on cherche $\displaystyle N=\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-k)=\sigma_{1}-s$ où les $x_{i}$ sont les $n$ racines de
$$P(X)=A\prod_{j=1}^{n}(X-j)\ -\ \sum_{k=1}^{n}k\prod_{j\neq k}(X-j)$$avec $\sigma_1=\sum_{k=1}^n x_{k}$ et $s=n(n+1)/2$. $P$ est de degré $n$, son coefficient dominant est $A$ et son coefficient sous-dominant est $-As-s$. La plus simple des relations coefficients-racines donne
$$\sigma_{1}={As+s\over A}=s+{s\over A}$$d’où $N=s/A$ cad
$$N={n(n+1)\over 2A}$$Ici $80.81/(16/5)=25.81=45^2=2025$ (rappel de cette année bénie de millésime carré d’un nombre triangulaire lui-même carré d’un nombre triangulaire : 2025=$t_{9}^{2}=1^{3}+\cdots9^{3}$ avec $9=t_{2}^{2}=1^3+2^3$, ce qui ne se reproduira qu’en l’an 443556 ).

En 1988 à Canberra, on avait $n=70, A=5/4,N=70.71/(5/2)=2.14.71=1988$.

Exercice : fabriquer des couples $(n,A)$ pour d’autres millésimes. (2027 c’est pourri mais 2028 c’est chouette).