Module des sommes de Gauss

Solution en vidéo : https://youtu.be/v4j3gT0j3R8

On pose $z=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \exp\left(2i\pi \frac{k^2}{n}\right)$. On va calculer son module au carré via la formule $z\overline{z}=\left|z\right|^2.$ On a
$$\left|z\right|^2 =\left(\sum_{k=0}^{n-1} \exp\left(2i\pi \frac{k^2}{n}\right)\right) \left(\sum_{\ell=0}^{n-1} \exp\left(2i\pi \frac{\ell^2}{n}\right)\right) =\sum_{0\leqslant k,\ell\leqslant n-1}e^{\frac{2i\pi}{n}(k^2-\ell^2)} =\sum_{0\leqslant k,\ell\leqslant n-1}e^{\frac{2i\pi}{n}(k-\ell)(k+\ell)}$$On va sommer par paquets diagonaux modulaires. C’est-à-dire qu’on va sommer sur $m=k+\ell\mod n.$ Cette fois-ci, pour un $m$ donné chaque paquet aura $n$ termes. En effet, $k$ varie de $0$ à $n-1$ et $\ell=m-k\mod n$ a un unique représentant dans $\left\{0,\dots,n-1\right\}.$ C’est bien pratique car justement la quantité $\exp\left(\dfrac{2i\pi}{n}(k^2-\ell^2)\right)$ ne dépend que du reste modulo $n$ de $k$ et de $\ell.$ On peut donc poursuivre notre calcul.
$$\left|z\right|^2 =\sum_{0\leqslant k,\ell\leqslant n-1}e^{\frac{2i\pi}{n}(k-\ell)(k+\ell)} =\sum_{m=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2i\pi}{n}(2k-m)m} =\sum_{m=0}^{n-1}e^{\frac{2i\pi}{n}m^2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{\frac{4i\pi}{n}m}\right)^k$$On se retrouve donc à calculer une somme géométrique mais attention, la formule $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^k=\dfrac{1-q^{n}}{1-q}$ n’est utilisable que lorsque $q\neq 1.$ On a
$$q=\exp\left(\dfrac{4i\pi}{n}m\right)=1 \Leftrightarrow\exists j\in\mathbb{Z},\dfrac{4\pi}{n}m=2\pi j \Leftrightarrow \exists j\in\mathbb{Z},m= \dfrac{nj}{2}.$$Puisque $0\leqslant m\leqslant n-1$ on a nécessairement $0\leqslant j<2$ ce qui correspond à $m=0$ ou $m=\dfrac{n}{2}$. Ce dernier cas n’intervient que lorsque $n$ est pair. Quoiqu’il arrive lorsque $q=1$ on a $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^k=n$, sinon $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^k=\dfrac{1-q^n}{1-q}=\dfrac{1-\exp\left({\dfrac{4i\pi}{n}}\right)^n}{1-q}=0.$ On distingue alors les deux cas :
Si $n$ impair. Dans ce cas seul le terme correspondant à $m=0$ est non nul. On a alors $\left|z\right|^2=\exp\left(\dfrac{2i\pi}{n}0^2\right)\times n=n$ donc $\left|z\right|=\sqrt{n}.$
Si $n$ pair. Dans ce cas la somme comportera les termes $m=0$ et $m=\dfrac{n}{2}$ ce qui donne
$$\left|z\right|^2 =\exp\left(\dfrac{2i\pi}{n}0^2\right)\times n +\exp\left(\dfrac{2i\pi}{n}\left(\dfrac{n}{2}\right)^2\right)\times n =n(1+(e^{i\frac{\pi}{2}})^n)=n(1+i)^n.$$Remarquons qu’il s’agit bien d’un réel positif car $n$ est pair. On peut même distinguer les cas où $n\equiv 2\mod 4$ auquel cas $i^n=-1$ et si $n\equiv 0\mod 4$ où $i^n=1$.
On peut alors résumer
$$\left|\sum_{k=0}^{n-1} \exp\left(2i\pi \frac{k^2}{n}\right)\right| =\begin{cases} \sqrt{n}&\text{ si }n\text{ impair}\\ 0&\text{ si }n\equiv 2\mod 4\\ \sqrt{2n}&\text{ si }n\equiv 0\mod 4. \end{cases}$$