Mon premier pas dans le raisonnement par récurrence.

(Le rang $n_{0}$ vaut 0 ici)

Pour $n\in \mathbb{N}$, notons $P(n)=$ $\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.

• P(0) est vraie de manière évidente.
• Soit $n\ge n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie(c’est-à-dire qu’on veut montrer que $\sum_{k=0}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$).

On a
$$\sum_{k=0}^{n+1} k = \sum_{k=0}^{n} k + (n+1).$$Or, $\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ puisqu’on a supposé que $P(n)$ est vraie.

Ainsi, cela donne
$$\sum_{k=0}^{n} k + n+1 = \frac{n(n+1)}{2} +n+1$$$$\quad \qquad \qquad = (n+1)(\frac{n}{2} + 1 )$$$$\quad \qquad \qquad = (n+1)(\frac{n+2}{2})$$$$\quad \qquad \qquad = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$D’où $P(n+1)$ est vraie.

• Donc pour tout $n\in\mathbb{N}$, $P(n)$ est vraie.