Mon premier pas dans le raisonnement par récurrence.

(Le rang $n_{0}$ vaut 0 ici)

Pour $n\in \mathbb{N}$, notons $P(n)=$ $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.

• $P(0)$ est vraie de manière évidente.
• Soit $n\geqslant n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie (c’est-à-dire qu’on veut montrer que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$).

On a
$$\sum_{k=0}^{n+1} k = \sum_{k=0}^{n} k + (n+1).$$Or, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ puisqu’on a supposé que $P(n)$ est vraie.

Ainsi, cela donne
$$\begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} k & = & \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \\[0.2cm] & = & \displaystyle (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) \\[0.2cm] & = & \displaystyle (n+1)\left(\frac{n+2}{2}\right) \\[0.2cm] & = & \displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}. \end{array}$$

D’où $P(n+1)$ est vraie.

• Donc pour tout $n\in\mathbb{N}$, $P(n)$ est vraie.