Nilpotents de $\Z/n\Z$

1. Si $n$ possède un facteur carré, disons $d$, alors $\frac{n}{d^2}$ est un entier. Ainsi $\left(\frac{n}{d}\right)^2=n\cdot\frac{n}{d^2}$ est un entier qui divise $n$.
   Donc $\frac{n}{d}$ est nilpotent (d’indice $2$) dans $\Z/n\Z$.

Supposons maintenant que $\Z/n\Z$ contient un nilpotent non nul. Notons $k=p_1\dots p_r$ la décomposition en facteurs premiers (pas forcément distincts) de ce dernier et $o\geqslant2$ son indice de nilpotence. Ainsi $k^o\equiv 0\,[n]$ donc $n$ divise $k^o$ mais $n$ ne divise pas $k^{o-1}$.
Donc il se doit d’exister un facteur premier $p$ qui divise $k^o$ mais pas $k^{o-1}$. Autrement dit, $p^o$ divise $n$. Mais $o\geqslant2$ donc $p^2$ divise $n$ et on a donc notre facteur carré.

2. En se mouillant la nuque, on remarque qu’on doit chercher un entier $n$ sans facteur carré pour utiliser la question précédente. Notons pour cela que $\Z/p\Z$ est un corps dès que $p$ est premier donc prenons $n=6$ (pas premier et pas de facteur carré). Ainsi, dans cet anneau, $2$ est un élément qui n’est pas nilpotent car aucune puissance de $2$ n’est divisible par $6$. Cependant $2$ n’est pas inversible car sa multiplication par $3$ est divisible par $6$. Donc $\Z/6\Z$ n’est pas un corps.
   On peut d’ailleurs remarquer que n’importe quel $\Z/p_1\dots p_r\Z$, pour $p_1,\dots,p_r$ des premiers distincts, est un anneau sans nilpotent outre $0$ sans pour autant être un corps dès que $r\geqslant2$.