Partie dodue d’un espace vectoriel normé

Solution en vidéo : https://youtu.be/7NEIhOl7ySs

Soient $x,y\in A(R),t\in [0,1]$ et $a,a'\in A.$ On a alors
$$d(tx+(1-t)y,A)\leq ||tx+(1-t)y-(\underbrace{ta+(1-t)a'}_{\in A\text{ par convexité}})||\leq t||x-a||+(1-t)||y-a'||.$$En passant à l’infimum pour $a\in A$ puis pour $a'\in A$ on a $d(tx+(1-t)y,A)\leq td(x,A)+(1-t)d(y,A)\leq tR+(1-t)R=R.$ L’ensemble $A$ est donc convexe.
On montre maintenant que $A(R)$ est fermé. Pour cela on montre que l’application $f\colon x\mapsto d(x,A)$ est continue en montrant qu’elle est $1$-lipschitzienne. Soit $a\in A$. On a, d’après l’inégalité triangulaire,
$$d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)\text{ donc, en passant à l'infimum }d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y).$$On obtient bien $|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)$ par symétrie des rôles. On a donc $f$ continue donc $A(R)=f^{-1}(]-\infty,R])$ fermé comme préimage d’un fermé par une application continue.