Partie dodue d'un espace vectoriel normé

Soit $(E,||~||)$ un espace vectoriel normé de dimension finie et $A$ une partie non vide de $E.$ Pour tout $x\in E,$ on appelle distance de $x$ à $A$ le nombre noté $d(x,A)$ défini par $d(x,A)=\inf\limits_{a\in A}{||x-a||}.$ Pour $R>0,$ on note $A(R)$ l’ensemble $\set{x\in E,d(x,A)\leq R}$ . Montrer que si $A$ est convexe alors $A(R)$ est convexe et fermée.

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Oral Mines-Ponts filière PC 2022 (RMS 133-2 857)

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Solution by FiniteField

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Solution en vidéo : https://youtu.be/7NEIhOl7ySs

Soient $x,y\in A(R),t\in [0,1]$ et $a,a'\in A.$ On a alors
$d(tx+(1-t)y,A)\leq ||tx+(1-t)y-(\underbrace{ta+(1-t)a'}_{\in A\text{ par convexité}})||\leq t||x-a||+(1-t)||y-a'||.$ En passant à l’infimum pour $a\in A$ puis pour $a'\in A$ on a $d(tx+(1-t)y,A)\leq td(x,A)+(1-t)d(y,A)\leq tR+(1-t)R=R.$ L’ensemble $A$ est donc convexe.
On montre maintenant que $A(R)$ est fermé. Pour cela on montre que l’application $f\colon x\mapsto d(x,A)$ est continue en montrant qu’elle est $1$ -lipschitzienne. Soit $a\in A$ . On a, d’après l’inégalité triangulaire,
$d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)\text{ donc, en passant à l'infimum }d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y).$ On obtient bien $|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)$ par symétrie des rôles. On a donc $f$ continue donc $A(R)=f^{-1}(]-\infty,R])$ fermé comme préimage d’un fermé par une application continue.

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