Question 1

Montrons que $\mathcal{G}_{f}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}, +)$. $\newline$

Tout d’abord $0 \in \mathcal{G}_{f}$ : $\forall x \in \mathbb{R}, f(x + 0) = f(x)$$\newline$

Ensuite $\mathcal{G}_{f}$ est stable par addition et passage à l’opposé :

Soient $T_1$ et $T_{2}$ dans $\mathcal{G}_{f}$ $\newline$
Ce qui veut dire que $\forall x \in \mathbb{R}, f(x + T_{1}) = f(x)$ et $\forall x \in \mathbb{R}, f(x + T_{2}) = f(x)$

$\mathcal{G}_{f}$ est stable par addition : $\forall x \in \mathbb{R}, f(x + T_{1} + T_{2}) = f(x + T_{1}) = f(x)$
Nous avons ainsi $T_{1} + T_{2} \in \mathcal{G}_{f}$
$\newline$
$\mathcal{G}_{f}$ est stable par passage à l’opposé : $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = f(x - T_{1} + T_{1}) = f(x - T_{1})$
Nous avons ainsi $-T_{1} \in \mathcal{G}_{f}$
$\newline$

Question 2

La période principale, si elle existe, est le réel $\min(\mathcal{G}_{f} \cap \mathbb{R}^{*}_{+})$.
$\newline$
La période principale est bien définie dans le cas où $\mathcal{G}_{f}$ est discret et non-réduit à $\{0\}$. En effet : $\mathcal{G}_{f}$ s’écrit $a \mathbb{Z}$ avec $a\in\mathbb{R}^{*}_{+}$ . On a $\mathcal{G}_{f} \cap \mathbb{R}_{+}^{*} = \{ka ~ ; ~ k \in \mathbb{N} ^{*} \}$ . Nous pouvons donc affirmer que $\min(\mathcal{G}_{f} \cap \mathbb{R}^{*}_{+})$ existe et que ce réel vaut $a$.
$\newline$
En revanche si $\mathcal{G}_{f}$ est dense, $\mathcal{G}_{f} \cap \mathbb{R}_{+}^{*}$ n’admet pas de minimum. En effet : Supposons par l’absurde que $\mathcal{G}_{f} \cap \mathbb{R}_{+}^{*}$ admet un minimum que l’on note $T$. Par densité de $\mathcal{G}_{f}$, il existe un élément de $\mathcal{G}_{f}$ dans $]0, T[$. Les éléments de $]0,T[$ sont également des éléments de $\mathbb{R}^{*}_{+}$ . On a montré qu’il existe un élément de $\mathcal{G}_{f} \cap \mathbb{R}_{+}^{*}$ dans $]0,T[$ mais ceci est absurde car cet élément est strictment plus petit que $T$, ce qui contredit la minimalité de $T$.

Question 3

Soit $x \in \mathbb{R}$, montrons que $f(x) = f(0)$.

Comme $\mathcal{G}_{f}$ est dense dans $\mathbb{R}$ par hypothèse, il existe une suite $(T_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in (\mathcal{G}_{f})^{\mathbb{N}}$ qui converge vers $0$ par valeurs strictement supérieures (c’est-à-dire en étant à termes strictement positifs).
$\newline$
Comme $\mathcal{G}_{f}$ est un groupe, $\forall k \in \mathbb{Z}, \forall u \in \mathcal{G}_{f} , k \cdot u \in \mathcal{G}_{f}$,
ainsi : $\forall n \in \mathbb{N}, -\lfloor \frac{x}{T_{n}} \rfloor T_{n} \in \mathcal{G}_{f}$

Par définition de $\mathcal{G}_{f}$, $\forall n \in \mathbb{N} , f(x - \lfloor \frac{x}{T_{n}} \rfloor T_{n}) =f(x)$
$\newline$
Par encadrement de la partie entière et théorème des encadrements pour les suites, on a :
$\forall n \in \mathbb{N}, \frac{x}{T_{n}} - 1 \lt \lfloor \frac{x}{T_{n}} \rfloor \le \frac{x}{T_{n}}$
$\forall n \in \mathbb{N}, x - T_{n} \lt \lfloor \frac {x}{T_{n}} \rfloor T_{n} \le x$ par stricte positivité de la suite $(T_{n})$
et donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \lfloor \frac{x}{T_{n}} \rfloor T_{n} = x$
$\newline$
Par continuité de $f$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} f(x - \lfloor \frac{x}{T_{n}} \rfloor T_{n}) = f(x - x) = f(0)$
Par le fait que $(f(x - \lfloor \frac{x}{T_{n}} \rfloor))_{n \in \mathbb {N}}$ est constante de valeur $f(x)$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} f(x - \lfloor \frac{x}{T_{n}} \rfloor T_{n}) =\lim\limits_{n \to +\infty} f(x ) = f(x)$

Par unicité de la limite : $f(x) = f(0)$.
$\newline$
Ce qui montre que $f$ est constante.

Remaque : Pour n’importe quelle application $g$ définie sur $\mathbb{R}$ : $g$ est constante $\Leftrightarrow$ $\mathcal{G}_{g} = \mathbb{R}$
$\newline$

Question 4

Dans la question 3, nous avons en fait pas eu besoin de la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$ tout entier mais seulement au point $0$.

Soit $x \in \mathbb{R}$ et $(T_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in (\mathcal{G}_{f} \cap \mathbb{R}^{*}_{+})^{\mathbb{N}}$ qui converge vers $0$.

Comme $f$ est continue en $x_{0}$, on a par caractérisation séquentielle de la continuité :
$\lim\limits_{n \to +\infty} f(x - \lfloor \frac{x - x_{0}}{T_{n}} \rfloor T_{n}) = f(x_{0})$

Nous avons aussi par définition de $\mathcal{G}_{f}$ :
$\lim\limits_{n \to +\infty} f(x - \lfloor \frac{x - x_{0}}{T_{n}} \rfloor T_{n}) = \lim\limits_{n \to +\infty} f(x) = f(x)$

Ce qui montre que $f(x) = f(x_{0})$ par unicité de la limite.

On conclut que $f$ est constante.

Question 5

$\newline$
Nous allons montrer que l’indicatrice des rationnels, appelée également fonction de Dirichlet, est périodique, plus précisément, que tout rationnel est une période de cette fonction.

On rappelle que l’indicatrice des rationnels est définie de la manière suivante :

$$\forall x \in \mathbb{R}, \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} (x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 , x \in \mathbb{Q}&\\ 0 , \text{sinon} \end{array} \right.$$

$\newline$
Nous avons $\forall x \in \mathbb{Q}, \forall r \ \in \mathbb{Q}, x + r \in \mathbb{Q}$ et $\forall x \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}), \forall r \ \in \mathbb{Q}, x + r \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})$
$\newline$
Ainsi, soit $T \in \mathbb{Q}$
$\forall x \in \mathbb{R}, \mathbb{1}_{\mathbb{Q}}(x + T) =\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}(x)$
$T$ est une période de $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$
$\newline$
Nous avons montré que tout rationnel est une période de $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$.
$\newline$
De plus, aucun irrationnel n’est période de $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ :
Soit $\alpha \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})$
On a : $1 = \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} (0) = \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} (-\alpha + \alpha) \ne \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} (-\alpha) = 0$
$\alpha$ n’est pas une période de $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$
$\newline$
Nous avons montré que $\mathcal{G}_{\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}} = \mathbb{Q}$ . Comme $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, on peut affirmer que la fonction de Dirichlet n’admet pas de plus petite période.

Au passage, on a prouvé que $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ est continue nulle part sur $\mathbb{R}$.