Périodicité d’une somme de fonctions périodiques continues

Pour la question 1, voir les problèmes liés.

Pour la question 2:
Montrons l’équivalence:
$$f+g \text{ périodique} \iff \frac{T_{f}}{T_{g}}\in \mathbb{Q}$$

1. Montrons le sens direct par contraposée: supposons que $\frac{T_{f}}{T_{g}} \notin \mathbb{Q}$

Montrons que si $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction, l’ensemble de ses périodes est un sous-groupe de $\mathbb{R}$:

• $0$ est une période de $f$, car $\forall x \in \mathbb{R}, f(0+x)=f(x)$
• si $T1,T2$ deux périodes de $f$:
  $$\forall x \in \mathbb{R}, f(x+T1+T2)=f((x+T1)+T2)=f(x+T1)=f(x)$$Donc $T1+T2$ est une période de $f$
• si $T1$ période de $f$:
  $$\forall x \in \mathbb{R}, f(y-T1)=f((x-T1)+T1)=f(x)$$Donc $-T1$ période de $f$.

Donc l’ensemble des périodes de $h$ est bien un sous-groupe de $\mathbb{R}$.
Donc l’ensemble des périodes de $h$ est soit discret, soit dense dans $\mathbb{R}$ (admis).

Supposons que $f+g$ est périodique, on note $T$ sa période.

Comme
$$\forall x \in \mathbb{R}, (f+g)(x+T)=(f+g)(x)$$Alors
$$\forall x \in \mathbb{R},f(x+T)-f(x)=-(g(x+T)-g(x))$$

Ainsi la fonction $u: x\mapsto f(x+T)-f(x)=-(g(x+T)-g(x))$ admet $T_{f}, T_{g}$ dans ses périodes.
Donc l’ensemble $G=\{nT_{f}+mT_{g}, (n,m)\in\mathbb{Z^{2}}\}$ est inclus dans les périodes de $u$.
D’après la question 1, cet ensemble est dense dans $\mathbb{R}$.

Si l’ensemble des périodes de $u$ est dense dans $\mathbb{R}$, alors la fonction $u$ coïncident avec $x \mapsto u(0)$ sur l’ensemble (dense) des périodes de $u$, donc par continuité, $u = u(0)$.

Or $f$ est $T_f$-périodique et continue, donc elle est bornée sur $\mathbb{R}$.
Si $u(0) \neq 0$, alors par récurrence $f(x + nT) = f(x) + nu(0) \xrightarrow[n \to \infty]{} \pm \infty$, ce qui est impossible pour une fonction bornée.
Donc $u(0) = 0$.

Alors $f(x+T)=f(x)$
Ainsi, $T$ est une période de $f$. Comme $T_f$ est la période fondamentale de $f$, $T$ est un multiple entier de $T_{f}$ ($T = k T_{f}$).
De même, comme $u(x) = -(g(x+T) - g(x)) = 0$, $T$ est aussi une période de $g$, donc $T = m T_{g}$.
D’où $k T_{f} = m T_{g} \implies \frac{T_{f}}{T_{g}} = \frac{m}{k} \in \mathbb{Q}$, ce qui contredit l’hypothèse $\frac{T_{f}}{T_{g}} \notin \mathbb{Q}$.

Donc $u$ ne peut pas être constante, donc l’ensemble des périodes de $u$ est un ensemble discret.

Or, $G$ inclus dans cet ensemble et est dense, il y a donc une contradiction.

Donc $f+g$ n’est pas périodique.

2. Si $\frac{T_{f}}{T_{g}} \in \mathbb{Q}$:
   On note $p,q \in \mathbb{Z}\times\mathbb{N^{*}}$ tel que $\frac{T_{f}}{T_{g}}=\frac{p}{q}$
   Alors $qT_{f}=pT_{g}$

Alors $\forall x \in \mathbb{R}, (f+g)(x+qT_{f})=f(x+qT_{f})+g(x+qt_{f})=f(x)+g(x+pT_{g})=(f+g)(x)$

Donc $f+g$ est périodique.