Periodicity of a sum of periodic functions

Soit $\alpha$ un nombre irrationnel.
On considère $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par:
$$\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \cos(x) - \cos(\alpha x)$$Où $x \mapsto \cos(\alpha x)$ est périodique de période $\frac{2\pi}{\alpha}$ et $x \mapsto \cos(x)$ périodique de période $2\pi$.
Puisque pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-1 \le \cos(x) \le 1$ et $-1 \le \cos(\alpha x) \le 1$, la valeur maximale possible pour la différence $\cos(x) - \cos(\alpha x)$ est $1 - (-1) = 2$.
Montrons que $2$ est atteint par $f$ par un unique antécedent:
$$f(x) = 2 \iff \begin{cases} \cos(x) = 1 \\ \text{et} \\ \cos(\alpha x) = -1 \end{cases} \iff \begin{cases} x \equiv 0 \pmod{2\pi} \\ \text{et} \\ \alpha x \equiv \pi \pmod{2\pi}\end{cases} \iff \begin{cases} \exists k \in \mathbb{Z}, \; x = 2k\pi \\ \text{et} \\ \exists m \in \mathbb{Z}, \; \alpha x = (2m+1)\pi\end{cases}$$Si $x\neq0$, il vient en faisant le rapport entre les deux expressions:
$$\exists m,k \in \mathbb{Z}, \alpha = \frac{2m+1}{2k} \in \mathbb{Q}$$, ce qui est contradictoire.

Donc $x=0$ est l’unique antécédent de $2$ par $f$.

Ainsi, $\forall T \in \mathbb{R^{*}}, f(0)=2\neq f(0+T)$, donc $f$ n’est pas périodique.

Il vient que la somme de deux fonctions périodiques n’est pas nécessairement périodique.