Polynome caractéristique d’une simple matrice

Par définition, le polynôme caractéristique est donné par

$$\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).$$

Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :

$$X I_2 - A = \begin{pmatrix} X - 1 & -2 \\ -3 & X - 4 \end{pmatrix}.$$

Le déterminant de cette matrice s’écrit alors

$$\chi_A(X) = (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3) = X^2 - 5X + 4 - 6 = X^2 - 5X - 2.$$