Polynômes qui induisent une surjection

Commençons par un petit lemme préliminaire :
Soit $K=\mathbb{R}$ ou $K=\mathbb{Q}$. Si $P(K)\subseteq K$, alors $P\in K[X]$.

En effet, posons $n=\deg P$. Les valeurs $P(0),P(1),\dots,P(n)$ appartiennent à $K$, et la formule
d'interpolation de Lagrange aux points $0,1,\dots,n$
$$P=\sum_{k=0}^{n}P(k)\prod_{\substack{j=0\\ j\neq k}}^{n}\frac{X-j}{k-j}$$exprime $P$ comme combinaison $K$-linéaire de polynômes de $K[X]$.

1. Le cas $P(\mathbb{C})=\mathbb{C}$
   Caractérisation : $\deg P\geqslant 1$.

Si $P$ est constant, son image est réduite à un point. Sinon, pour tout $w\in\mathbb{C}$
le polynôme $P-w$ est non constant, donc admet une racine par le théorème de D’Alembert-Gauss : ainsi $w\in P(\mathbb{C})$.

2. Le cas $P(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
   Caractérisation : $P\in\mathbb{R}[X]$ et $\deg P$ impair.

Par le lemme, $P\in\mathbb{R}[X]$. Si $\deg P=2m$ avec coefficient dominant
$a_{2m}>0$ (resp. $a_{2m}<0$), alors $P(x)\to+\infty$ (resp. $-\infty$) en $\pm\infty$, donc
$P$ est minorée (resp. majorée) sur $\mathbb{R}$ par continuité, et $P(\mathbb{R})\neq\mathbb{R}$ ;
le cas constant est clair.

Réciproquement, si $\deg P$ est impair, $P$ tend vers $+\infty$ à un bout et $-\infty$ à
l’autre, et le théorème des valeurs intermédiaires donne $P(\mathbb{R})=\mathbb{R}$.

3. Le cas $P(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$
   Caractérisation : $P=aX+b$ avec $a\in\mathbb{Q}^{*}$ et $b\in\mathbb{Q}$.

Un tel $P$ est bijectif de $\mathbb{Q}$ sur $\mathbb{Q}$, d’inverse $y\mapsto (y-b)/a$.

Réciproquement, le lemme donne $P=\sum_{i=0}^{n}a_iX^i\in\mathbb{Q}[X]$,
avec $n\geqslant 1$. Supposons $n\geqslant 2$ et notons $v_q$ la valuation $q$-adique. Choisissons un
nombre premier $q$ ne divisant ni les numérateurs ni les dénominateurs des $a_i$ non nuls,
de sorte que $v_q(a_i)=0$ pour tout $i$ tel que $a_i\neq 0$. Soient $x\in\mathbb{Q}^{*}$ et
$m=v_q(x)$.

• Si $m\geqslant 0$, alors $v_q(P(x))\geqslant 0$.
• Si $m<0$, alors $v_q(a_ix^i)=im>nm$ pour tout $i<n$ tel que $a_i\neq 0$, tandis que
  $v_q(a_nx^n)=nm$. Le minimum étant atteint une seule fois, l'inégalité ultramétrique est une égalité :
  $$v_q\bigl(P(x)\bigr)=nm\in n\mathbb{Z}.$$

Ainsi, pour tout $x\in\mathbb{Q}$, on a $v_q(P(x))\geqslant 0$ ou $v_q(P(x))\in n\mathbb{Z}$.
Comme $n\geqslant 2$, l’entier $-1$ n’appartient pas à $n\mathbb{Z}$, donc $1/q\notin P(\mathbb{Q})$ :
contradiction. D’où $n=1$.