Polynômes scindés à racines simples et suites

Procédons par récurrence.

On pose $a_{0}$ et $a_{1}$ quelconques dans $\mathbb{R^{*}}$, alors le polynôme $a_{0}+a_{1}X$ est bien scindé à racines simples.

Supposons maintenant qu’il existe $n\in\mathbb{N^{*}}$ tel que $a_0,...,a_n$ soient construits. Construisons $a_{n+1}$:
Soit $x_{1},...,x_{n}$ les racines de $P_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k}$.

L’idée principale est d’exploiter la continuité des polynômes avec le théorème des valeurs intermédiaires.
On chercherait à prendre judicieusement $2n$ points, notés $u_{k} \text{ et } v_{k}$ vérifiant $u_{k}<x_{k}<v_{k}$ et $P_{n}(u_{k})\text{ est de signe différent de } P_{n}(v_{{k}})$.
Ainsi, pour un choix de $a_{n+1}$ petit, $P_{n+1}(u_{{k}})$ (respectivement $P_{n+1}(v_{{k}})$) serait de même signe que $P_{n}(u_{{k}})$ (respectivement $P_{n}(v_{{k}})$), alors par théorème des valeurs intermédiaires (TVI), on trouverait $n$ racines de $P_{n+1}$.
Il nous reste à trouver une racine.
Pour cela on regarde le comportement asymptotique de $P_{n+1}$: $P_{n+1} \sim_{\pm\infty} a_{n+1}x^{n+1}$
Ainsi, $P_{n+1}\to \pm \infty$ en fonction du signe de $a_{n+1}$. On choisit alors $a_{n+1}$ de signe opposé à $P_{n}(v_{n})$. Il viendra alors par TVI qu’il existe une racine de $P_{n+1}$ qui soit dans $]v_{n}+\infty[$. On a bien nos $n$ racines, le polynôme est donc bien scindé sur $\mathbb{R}$.

Formalisons cela:
Comme $P_{n}$ est scindé à racines simples, alors toute racine de $P_{n}$ n’est pas racine de $P'_{n}$. Il vient donc que toute racine de $P_{n}$ n’est pas un extremum local, donc $P_{n}$ change de signe en ses racines.

On choisit alors $2n$ points, notés $u_{k} \text{ et } v_{k}$ vérifiant $u_{1}<x_{1}<v_{1}<...<u_{n}<x_{n}<v_{n}$ et pour tout $k$, $P_{n}(u_{k})\text{ est de signe différent de } P_{n}(v_{{k}})$.

On choisit $a_{n+1}$ tel que $\forall x=u_{1},...,u_{n},v_{1},...,v_{n}, |a_{n+1}x^{n+1}|<\min_{x=u_{1},...,u_{n},v_{1},...,v_{n}}\{ |P_{n}(x)|\}$, donc
$$|a_{n+1}|<\frac{\min_{x=u_{1},...,u_{n},v_{1},...,v_{n}}\{ |P_{n}(x)|\}}{(\max_{x=u_{1},...,u_{n},v_{1},...,v_{n}} \{ |x|\})^{n+1} }$$Il vient alors par construction que $P_{n+1}(u_{{k}})$ (respectivement $P_{n+1}(v_{{k}})$) est de même signe que $P_{n}(u_{{k}})$ (respectivement $P_{n}(v_{{k}})$).
Donc par TVI pour tout $k$, $\exists x'_{k}\in ]u_{k},v_{k}[, P_{n+1}(x'_{k})=0$
De plus, on impose $a_{n+1}$ de signe opposé à $P_{n}(v_{n})$. Alors, si on suppose sans perte de généralité que $P_{n}(v_{n})>0$, alors $P_{n+1} \sim_{+\infty} a_{n+1}x^{n+1} \to -\infty$.
Il vient donc par TVI que $\exist x'_{n+1} \in ]v_{n},+\infty[, P_{n+1}(x'_{n+1})=0$

On a bien trouvé $n+1$ racines distinctes (car chaque intervalle est disjoint) de $P_{n+1}$, donc $P_{n+1}$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$.

On en conclut par principe de récurrence l’existence d’une telle suite.