Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Real analysisUnreviewed

Pouvez-vous prouver cette équivalence ?

by mathman·
50
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Prouvez que lorsque xx tend vers 0+0^{+} :

∫0+∞e−xtt1+t2dt∼−ln⁡(x)\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-xt}\frac{t}{1+t^{2}}\mathrm{d}t\sim -\ln(x).

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Solutions

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Solution by FiniteField

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On commence par le changement de variable u=xtu=xt, puis on intègre par parties, ce qui donne
∫0+∞t1+t2e−xt dt=∫0+∞ux2+u2e−u du=[12ln⁡(x2+u2)e−u]0+∞+∫0+∞12ln⁡(x2+u2)e−u du=−ln⁡(x)+12∫0+∞ln⁡(x2+u2)e−u du\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t}{1+t^{2}}e^{-xt}\,dt=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{u}{x^{2}+u^{2}}e^{-u}\,du=\left[\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+u^{2})e^{-u}\right]_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+u^{2})e^{-u}\,du=-\ln(x)+\dfrac12\int_{0}^{+\infty}\ln(x^{2}+u^{2})e^{-u}\,duOn a, pour x⩽1,x\leqslant 1, alors 2ln⁡(u)⩽ln⁡(x2+u2)⩽ln⁡(1+u2)2\ln(u)\leqslant \ln(x^{2}+u^{2})\leqslant \ln(1+u^{2}) qui prouve que ∣ln⁡(x2+u2)⩽max⁡{ ln⁡(1+u2),2∣ln⁡(u)∣ }|\ln(x^{2}+u^{2})\leqslant \max\set{\ln(1+u^{2}),2|\ln(u)|} ce qui fournit une domination de la dernière intégrale. On peut alors passer à la limite dans l’intégrale et on a lim⁡x→012∫0+∞ln⁡(x2+u2)e−u du=∫0+∞ln⁡(u)e−u du\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac12\int_{0}^{+\infty}\ln(x^{2}+u^{2})e^{-u}\,du=\int_{0}^{+\infty}\ln(u)e^{-u}\,du qui est fini donc négligeable devant −ln⁡(x).-\ln(x).

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