Produit de matrices diagonales

Soit $A,B$ diagonales dans $\mathcal M_{n}$, on note $a_{i,j},b_{i,j}$ les coefficients en $i,j$ des matrices A et B.

Calculons les coefficients de $AB$ : soit $i, j \in \llbracket 1,n\rrbracket$, $(AB)_{i,j}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$, or pour tout $i'\not=j'$, $a_{i',j'}=b_{i',j'}=0$.
D’où, $\exists k \in \llbracket 1,n\rrbracket, a_{i,k}=a_{k,j}\not= 0 \Rightarrow i=j$. Donc, si $i\not= j, \forall k \in \llbracket 1,n\rrbracket, a_{i,k}b_{k,j} = 0$, d’où $(AB)_{i,j}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j} = 0$, c’est-à-dire que tous les coefficients non diagonaux de $AB$ sont nuls. Donc, la matrice $AB$ est bien diagonale.