Produits scalaires canoniques complexes

Question 1

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Caractère hermitien

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Soient $x = (x_{1}, \cdots, x_{n}) \in \C^{n}$ et $y = (y_{1}, \cdots, y_{n}) \in \C^{n}$
$<y, x> = \sum\limits_{i = 1}^n y_{i} \overline{x_{i}} = \overline{\sum\limits_{i = 1}^n x_{i} \overline{y_{i}}} = \overline{<x, y>}$
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Sesquilinéaire

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Soient $x = (x_{1}, \cdots, x_{n}) \in \C^{n}$, $y = (y_{1}, \cdots, y_{n}) \in \C^{n}$ , $z = (z_{1}, \cdots, z_{n}) \in \C^{n}$ et $\lambda \in \C$
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On montre la sesquilinéarité de $<\cdot,\cdot>$ à partir de la linéarité de la somme. Grâce au caractère hermitien, on peut seulement montrer la linéarité à gauche.

$<\lambda x + z, y> = \sum\limits_{i = 1}^n ((\lambda x_{i}+ z_{i}) \cdot \overline{y_{i}}) = \lambda \sum\limits_{i = 1}^n x_{i}\overline{y_{i}} + \sum\limits_{i=1}^n z_{i} \overline{y_{i}} = \lambda <x,y> + <z,y>$
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Définie-positivité

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Soit $x = (x_{1}, \cdots, x_{n}) \in \R^{n}$
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$<x,x> = \sum\limits_{i=1}^n x_{i} \overline{x_{i}} = \sum\limits_{i=1}^n |x_{i}|^{2} \geqslant 0$
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Nous avons montré que $<\cdot,\cdot>$ est positive.

Supposons maintenant que $<x,x> = 0$
$\sum\limits_{i=1}^n |x_{i}|^{2} = 0$
Si une somme à termes positifs est nulle alors tous ses termes sont nuls, donc :
$\forall i \in [\![1,n]\!], |x_{i}|^{2} = 0$ , donc $\forall i \in [\![1,n]\!], x_{i} = 0$
On conclut que $x = 0$ et donc que $<\cdot,\cdot>$ est définie positive.
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Question 2

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Caractère hermitien

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Soient $f \in \mathcal{C}([0,1],\R)$ et $g \in \mathcal{C}([0,1],\R)$
$<g, f> = \int_{0}^{1} g \overline{f} = \overline{\int_{0}^{1} f \overline{g}} = \overline{<f, \overline{g}>}$
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Sesquilinéaire

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Soient $f \in \mathcal{C}([0,1],\R)$ et $g \in \mathcal{C}([0,1],\R)$, $h \in \mathcal{C}([0,1],\R)$ et $\lambda \in \R$
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On montre la sesquilinéarité de $<\cdot,\cdot>$ à partir de la linéarité de l’inégrale. Grâce au caractère hermitien, on peut seulement montrer la linéarité à gauche.
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$<\lambda f + h, g > = \int_{0}^{1} ((\lambda f + h) \cdot \overline{g}) = \lambda\int_{0} ^{1} f \overline{g} + \int_{0}^{1} h \overline{g} = \lambda <f,g> + <h,g>$

Définie-positivité

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Soit $f \in \mathcal{C}([0,1],\R)$
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$<f,f> = \int_{0}^{1} f \overline{f} = \int_{0}^{1} |f|^{2} \geqslant 0$
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Nous avons montré que $<\cdot,\cdot>$ est positive.

Supposons maintenant que $<f,f> = 0$
$\int_{0}^{1} |f|^{2} = 0$
Si une intégrale d’une fonction continue positive sur un segment non-réduit à un singleton est nulle alors cette fonction est nulle sur tout le segment :
$\forall x \in [0,1], |f(x)|^{2} = 0$ , donc $\forall x \in [0,1],f(x)= 0$
On conclut que $f = 0$ et donc que $<\cdot,\cdot>$ est définie positive.
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Question 3

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Caractère hermitien

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Soient $M \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ et $N \in \mathcal{M}_{n}(\R)$
$<N, M> = \mathrm{tr}(N^{*} M) = \overline{\mathrm{tr}((N^{*} M)^{*})} = \overline{\mathrm{tr}(M^{*}(N^{*})^{*})} = \overline{\mathrm{tr}(M^{*}N)} = \overline{ <M, N>}$
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Sesquilinéaire

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Soient $M \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ et $N \in \mathcal{M}_{n}(\R)$, $P \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ et $\lambda \in \R$
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On montre la sesquilinéarité de $<\cdot,\cdot>$ à partir de la linéarité de la trace. Grâce au caractère hermitien, on peut seulement montrer la linéarité à droite.
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$<M , \lambda N + P> = \mathrm{tr}(M^{*} \cdot (\lambda N + P)) = \lambda \mathrm{tr}(M^{*} N) + \mathrm{tr}(M^{*} P) = \lambda <M,N> + <M,P>$
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Définie-positivité

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Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\R)$
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$<M,M> = \mathrm{tr}(M^{*}M)$

Déterminons les coefficients diagonaux de $M^{T} M$ :
Soit $i \in [\![1,n]\!]$, $(M^{T} M)_{i,i} = \sum\limits_{k = 1}^n m^{*}_{i,k} m_{k,i} = \sum\limits_{k = 1} \overline{m_{k,i}} m_{k,i} = \sum\limits_{k=1}^n |m_{i,k}|^{2} \geqslant 0$

Les coefficients diagonaux de $M^{T}M$ sont positifs or la trace de $M^{T}M$ est la somme des coefficients diagonaux, la trace est donc positive comme somme de termes positifs :

$\mathrm{tr}(M^{T}M) = \sum\limits_{i=1}^n (M^{T}M)_{i,i} = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n |m_{i,k}|^{2} \geqslant 0$

Nous avons montré que $<\cdot,\cdot>$ est positive.

Supposons maintenant que $<M,M> = 0$
$\mathrm{tr}(M^{T}M) = 0$
Si une somme à termes positifs est nulle alors tous ses termes sont nuls, donc :
$\forall i \in [\![1,n]\!], \sum\limits_{k = 1}^n |m_{i,k}|^{2} = 0$
utilisons ce principe encore une fois :
$\forall i \in [\![1,n]\!], \forall k \in [\![1,n]\!], |m_{i,k}|^{2} = 0$
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Tous les coefficients de $M$ sont nuls, autrement dit $M$ = 0
Ce qui permet de conclure que $<\cdot,\cdot>$ est définie-positive.