Quand des parallèles révèlent des angles

1. il s’agit de montrer l’égalité $\bf \widehat {AGH}=\widehat {GHD}$. Pour cela, nous allons montrer l’impossibilité des deux hypothèses $\bf \widehat {AGH}<\widehat {GHD}$ et $\bf \widehat {AGH}>\widehat {GHD}$

Si, par exemple, on suppose $\bf \widehat {AGH}<\widehat {GHD}$, alors on aura aussi $\bf \widehat {AGH}+\widehat {GHC}<\widehat {GHD}+\widehat {GHC}$ (1).

Or $\bf \widehat {GHD}$ et $\bf \widehat {GHC}$, qui sont deux angles adjacents et supplémentaires ont la somme des mesures de leurs angles qui est égale à la somme de deux angles droits (Pour la démonstration de ce point, voir le problème Une droite placée sur une autre... et les angles ?).
Par conséquent, avec (1), on pourra dire que la somme des mesures des deux angles $\bf \widehat {AGH}$ et $\bf \widehat {GHC}$ sera inférieure à la somme de deux angles droits.

Or le $\textbf {5ème postulat d’Euclide}$ nous dit que : "Si une ligne droite tombant sur deux autres lignes droites fait les angles intérieurs d’un même côté plus petits que deux droits, ces lignes, étant prolongées à l’infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits".
Pour notre configuration, nous pouvons en déduire que les deux droites $(AB)$ et $(CD)$ auront donc un point d’intersection, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse de parallélisme.

Le traitement du cas $\bf \widehat {AGH}>\widehat {GHD}$ est identique à celui du cas précédent en considérant dans le 5ème postulat d’Euclide les angles intérieurs situés de l’autre côté.

2. Il s’agit de montrer l’égalité $\bf \widehat {EGB}=\widehat {GHD}$.

La partie 1. ci-dessus a démontré que $\bf \widehat {AGH}=\widehat {GHD}$.

Par ailleurs, les angles opposés au sommet $\bf \widehat {EGB}$ et $\bf \widehat {AGH}$ sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux droites se coupent... que font les angles opposés ?), donc nous en concluons que $\bf \widehat {EGB}=\widehat {GHD}$, ce qu’il fallait démontrer.

3. Il s’agit de montrer que la sommes des mesures de $\bf \widehat {AGH}$ et $\bf \widehat {GHC}$ est égale à la somme des mesures de deux angles droits.

Dans le cas contraire, nous serions dans la configuration du $\textbf {5ème postulat d’Euclide}$ qui stipule que dans ce cas les droites $(AB)$ et $(CD)$ se couperaient, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse du parallélisme.