Quatre entiers consécutifs

Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs est toujours un carré moins 1.
Autrement dit, si $n$ est un entier, montrer que

$n(n+1)(n+2)(n+3)$

peut toujours être écrit sous la forme $m^2-1$ , où $m$ est un entier.

Solutions

Reveal solutionsAre you sure? Give it a try first.

Solution by Ancient TreeEN

Discussions0 useful votes

The idea is to multiply $n$ and $n+3$ together, then $n+1$ and $n+2$ together:

$n(n+1)(n+2)(n+3)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right).$

If we set $x=n^2+3n$ , the product becomes

$x(x+2).$

Now

$x(x+2)=x^2+2x=(x+1)^2-1.$

Therefore

$n(n+1)(n+2)(n+3)=\left(n^2+3n+1\right)^2-1,$

which is indeed one less than a square.

Report