Quatre rectangles et un carré... pour former un autre carré

Soit D le point dans le prolongement de $[AB]$ tel que $BD=CB$.

Construire le carré $ADFE$ de côté $AD$ sur le segment $[AD]$ (pour la construction de ce carré, voir le problème Construction d’un carré sur un segment).

Construire la parallèle à $(AE)$ passant par $B$ (pour les constructions de cette parallèle et de toutes celles à venir, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).
Soient $K$ et $L$ les intersections de cette parallèle avec la diagonale $[ED]$ et avec $(EF)$.

Construire la parallèle à $(AE)$ passant par $C$.
Soient $Q$ et $H$ les intersections de cette parallèle avec la diagonale $[ED]$ et avec $(EF)$.

Construire la parallèle à $(AD)$ passant par $K$.
Soient $M$, $G$ et $N$ les intersections de cette parallèle avec $(AE)$, avec $(CH)$ et avec $(DF)$.

Construire la parallèle à $(AD)$ passant par $Q$.
Soient $O$, $R$ et $P$ les intersections de cette parallèle avec $(AE)$, avec $(BL)$ et avec $(DF)$.

$CBKG$ et $BDNK$ sont des parallélogrammes car ils sont construits entre des parallèles. Par conséquent leurs côtés opposés sont égaux $CB=GK$ et $BD=KN$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Propriétés du parallélogramme). Or, par définition $CB=BD$ donc : $\bf GK=KN$ (1)

Le même raisonnement peut être fait pour $Q$, $R$ et $P$ : $\bf QR=RP$ (2)

Par ailleurs $CBKG$ et $BDNK$ sont construits entre mêmes parallèles et ont une base commune ($CB=BD$). Ils ont donc la même aire (pour la démonstration de ce point, voir le problème Mêmes parallèles, bases égales ... même aire des parallélogrammes ?), soit : $\bf [CBKG]=[BDNK]$ (3)
Il en est de même pour $GKRQ$ et $KNPR$ : $\bf [GKRQ]=[KNPR]$ (4)

Enfin, on peut reconnaitre dans la configuration du grand carré $ADFE$ coupé par la diagonale $[ED]$ que $CBKG$ et $KNPR$ sont complémentaires en K point de la diagonale $[ED]$, et sont donc superposables et égaux en aire (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une propriété des parallélogrammes complémentaires en un point) , soit :
$\bf [CBKG]=[KNPR]$ (5)

De (3), (4) et (5), on peut déduire l’égalité des 4 carrés :
$\bf [CBKG]=[BDNK]=[GKRQ]=[KNPR]$ (6)

Etant donné que $CG=GQ$ comme vu précédemment, nous avons avec $ACGM$ et$MGQO$ des parallélogrammes de même base construits entre mêmes parallèles, donc ayant la même aire (pour la démonstration de ce point, voir le problème Mêmes parallèles, bases égales ... même aire des parallélogrammes ?), soit :
$\bf [ACGM]=[MGQO]$ (7)

Il en est de même pour $QRLH$ et$RPFL$ : $\bf [QRLH]=[RPFL]$ (8)

Par ailleurs les deux parallélogrammes $MGQO$ et $QRLH$ sont complémentaires au point $Q$ d ela diagonale $[ED]$, donc ils sont superposables et ont même aire (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une propriété des parallélogrammes complémentaires en un point), soit : $\bf [MGQO]=[QRLH]$ (8)

De (7), (8) et (9) , on déduit : $\bf [ACGM]=[MGQO]=[QRLH]=[RPFL]$ (9)

Avec l’égalité (6) et l’égalité (9), nous pouvons construire 4 aires identiques, en sommant une aire du premier type avec une aire du second type, par exemple :
$[QRLH]+[GKRQ]=[RPFL]+[KNPR]=[MGQO]+[BDNK]=\bf [ACGM]+[CBKG]$
ou encore : $[QRLH]+[GKRQ]=[RPFL]+[KNPR]=[MGQO]+[BDNK]=\bf [ABKM]$ (10)
où $ABKM$ est un rectangle de côtés $AB$ et $CB$

Enfin, le grand carré $ADFE$ a son aire composée des 4 rectangles précédents et du carré $OQHE$ de côté $AC$, ce que l’on peut écrire de la façon suivante :
$\bf 4\times [ABKM]+[OQHE]=[ADFE]$

Cette égalité avec $ABKM$ rectangle de côtés $AB$ et $CB$, $OQHE$ carré de côté $AC$ , et $ADFE$ carré de côté $AD$ répond bien à la question posée.