Une propriété des parallélogrammes complémentaires en un point

Soit un parallélogramme $ADCB$ et un point $K$ positionné n’importe où sur la diagonale $[AC]$ de ce parallélogramme.
Ce point K permet de construire quatre nouveaux parallélogrammes en traçant deux droites, d’une part $(GH)$ parallèle à $(AB)$ passant par $K$ , avec G sur $(AD)$ et $H$ sur $(BC)$ , et dautre part $(EF)$ parallèle à $(AD)$ passant par $K$ , avec $E$ sur $(AB)$ et $F$ sur $(DC)$ .

Deux de ces nouveaux parallélogrammes, $AGKE$ et $KFCH$ , sont coupés par la diagonale.
Les deux autres, $EKHB$ et $GDFK$ , que nous appellerons "complémentaires au point K de la diagonale", ne sont eux pas coupés par la diagonale.

Montrer que les deux parallélogrammes $EKHB$ et $GDFK$ , complémentaires en K, ont la même aire, soit : $[EKHB]=[GDFK]$

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons les notation $[ABCD]$ et $[ABC]$ pour noter les aires respectives du parallélogramme $ABCD$ et du triangle $ABC$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 43

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Solution by goldfinch

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Nous allons utiliser trois fois successivement une même propriété : quand une diagonale d’un parallélogramme coupe celui-ci en deux triangles, ces deux triangles sont superposables et auront donc la même aire (pour la démonstration de cette propriété, voir le problème Propriétés du parallélogramme)

Première utilisation de cette propriété avec $ADBC$ coupé par la diagonale $[AC]$ en deux triangles $ABC$ et $ADC$ de même aire : $\bf [ABC]=[ADC]$ (1)

Deuxième utilisation de cette même propriété avec $KFCH$ coupé par la même diagonale en deux triangles $KHC$ et $KFC$ de même aire : $\bf [KHC]=[KFC]$ (2)

Troisième utilisation de cette propriété avec $AGKE$ coupé par la même diagonale en deux triangles $AEK$ et $AGK$ de même aire : $\bf [AEK]=[AGK]$ (3)

Notons en plus les égalités d’aires suivantes :
Pour le triangle $ADC$ : $\bf [ADC]=[GDFK]+[KFC]+[AGK]$ (4)

Pour le triangle $ABC$ : $\bf [ABC]=[EKHB]+[KHC]+[AEK]$ (5)

Avec (1), nous obtenons : $\bf [EKHB]+[KHC]+[AEK]=[GDFK]+[KFC]+[AGK]$

Ce qui , couplé avec (2) et (3) nous donne bien l’égalité recherchée : $\bf EKHB=GDFK$

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