Some bounded sequences that always converge

1. Posons $v_n=u_{n+1}-\alpha u_n$, ainsi $v_n\to 0$ et $u_{n+1}=\alpha u_n+v_n$.
   Cas $|\alpha|<1$. Par récurrence immédiate,
   $$u_n=\alpha^n u_0+\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^{\,n-1-k}v_k.$$Soit $\varepsilon>0$ et $N$ tel que $|v_k|\leq\varepsilon$ pour $k\geq N$. En scindant la somme,
   $$\Big|\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^{\,n-1-k}v_k\Big|\leq |\alpha|^{\,n-N}\sum_{k=0}^{N-1}|\alpha|^{N-1-k}|v_k|+\frac{\varepsilon}{1-|\alpha|}.$$Le premier terme tend vers $0$ quand $n\to+\infty$ ($N$ étant fixé), ainsi que $\alpha^nu_0$. Donc $\limsup|u_n|\leq \dfrac{\varepsilon}{1-|\alpha|}$ pour tout $\varepsilon>0$, c’est-à-dire $u_n\to 0$. Noter que l’hypothèse bornée n’a pas servi.

Cas $|\alpha|>1$. On renverse la relation : $u_n=\dfrac{u_{n+1}-v_n}{\alpha}$, puis par récurrence sur $p$,
$$u_n=\frac{u_{n+p}}{\alpha^p}-\sum_{j=0}^{p-1}\frac{v_{n+j}}{\alpha^{\,j+1}}.$$Comme $u$ est bornée et $|\alpha|>1$, le terme $u_{n+p}/\alpha^p$ tend vers $0$ quand $p\to+\infty$ ; la série converge absolument, d’où
$$u_n=-\sum_{j\geq 0}\frac{v_{n+j}}{\alpha^{\,j+1}},\qquad\text{donc}\qquad |u_n|\leq \frac{\sup_{k\geq n}|v_k|}{|\alpha|-1}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.$$Dans les deux cas $u$ converge, et sa limite est $0$. C’est cohérent : si $u_n\to \ell$, le passage à la limite dans $u_{n+1}-\alpha u_n\to 0$ donne $(1-\alpha)\ell=0$, et $\alpha\neq 1$ puisque $|\alpha|\neq 1$.

2. Le résultat se généralise pour $|\alpha|<1$ (déjà montré).
   Si $|\alpha|>1$, prendre $u_n=\alpha^n$ : alors $u_{n+1}-\alpha u_n=0$, mais $|u_n|=|\alpha|^n\to+\infty$ et $u$ diverge.

3. Supposons $e^{in\theta}\to L$. En passant à la limite dans $e^{i(n+1)\theta}=e^{i\theta}e^{in\theta}$, on obtient $L=e^{i\theta}L$. Or $|L|=\lim|e^{in\theta}|=1$, donc $L\neq 0$ et $e^{i\theta}=1$, soit $\theta\in 2\pi\mathbb{Z}$ : contradiction.
   Conclusion pour $|\alpha|=1$. Le résultat de la question 1 tombe en défaut.

Si $\alpha=e^{i\theta}$ avec $\theta\notin 2\pi\mathbb{Z}$, la suite $u_n=\alpha^n$ est bornée et vérifie $u_{n+1}-\alpha u_n=0$, mais elle diverge d’après ce qui précède.

Si $\alpha=1$, prendre $u_n=\sin(\sqrt n)$. Elle est bornée et, par l’inégalité des accroissements,
$$\left|u_{n+1}-u_n\right| \leq \sup _{x \geq n} \frac{|\cos (\ln x)|}{x} \leq \frac{1}{n} \longrightarrow 0 .$$Pour $k$ entier, posons
$$n_k=\left\lceil e^{\pi / 2+2 k \pi}\right\rceil, \quad m_k=\left\lceil e^{-\pi / 2+2 k \pi}\right\rceil .$$Alors $\ln n_k=\frac{\pi}{2}+2 k \pi+\delta_k$ avec $0 \leq \delta_k \leq \ln \left(1+e^{-\pi / 2-2 k \pi}\right) \rightarrow 0$, donc $u_{n_k}=$ $\sin \left(\ln n_k\right) \rightarrow 1$. De même $u_{m_k} \rightarrow-1$. Deux sous-suites de limites distinctes : $u$ diverge.

Bilan : la propriété « $u$ bornée et $u_{n+1}-\alpha u_n\to 0$ $\Rightarrow$ $u$ converge » vaut si et seulement si $|\alpha|\neq 1$, et sans l’hypothèse bornée si et seulement si $|\alpha|<1$.