"Quick" integrations by part (level $3$)

L’exponentielle étant invariante par intégration, la consigne impose de l’intégrer à chaque fois. Deux intégrations par parties ramènent alors l’intégrale à elle-même.
Avec $f(x)=\sin x$ et $g'(x)=e^{x}$ :
$$I=\int_0^1 e^{x}\sin x\,\mathrm{d}x=\Bigl[e^{x}\sin x\Bigr]_0^1-\int_0^1 e^{x}\cos x\,\mathrm{d}x=e\sin 1-J .$$Avec $f(x)=\cos x$ et $g'(x)=e^{x}$, en notant que $\cos'=-\sin$ :
$$J=\int_0^1 e^{x}\cos x\,\mathrm{d}x=\Bigl[e^{x}\cos x\Bigr]_0^1+\int_0^1 e^{x}\sin x\,\mathrm{d}x=e\cos 1-1+I .$$En reportant, $I=e\sin 1-e\cos 1+1-I$, d’où $2I=e(\sin 1-\cos 1)+1$ et
$$\boxed{\ \int_0^1 e^{x}\sin x\,\mathrm{d}x=\frac{e(\sin 1-\cos 1)+1}{2}. }$$

Il n’y a qu’un facteur : on dérive $\arcsin$ et l’on intègre la fonction constante $1$. Avec $f(u)=\arcsin u$, $g'(u)=1$, $g(u)=u$ :
$$\int_0^1\arcsin u\,\mathrm{d}u=\Bigl[u\arcsin u\Bigr]_0^1-\int_0^1\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,\mathrm{d}u=\frac{\pi}{2}-K .$$L’intégrande restant s’intègre directement, en reconnaissant $-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\sqrt{1-u^{2}}$ :
$$K=\Bigl[-\sqrt{1-u^{2}}\Bigr]_0^1=0-(-1)=1 .$$D’où
$$\boxed{\ \int_0^1\arcsin u\,\mathrm{d}u=\frac{\pi}{2}-1 .}$$

Même situation : on dérive $\ln^{2}$ et l’on intègre $1$. Avec $f(t)=\ln^{2}t$, $f'(t)=\frac{2\ln t}{t}$ et $g(t)=t$ :
$$\int_1^e\ln^{2}t\,\mathrm{d}t=\Bigl[t\ln^{2}t\Bigr]_1^e-\int_1^e 2\ln t\,\mathrm{d}t=e-2\int_1^e\ln t\,\mathrm{d}t .$$La seconde intégrale se traite de la même façon, avec $f(t)=\ln t$ et $g(t)=t$ :
$$\int_1^e\ln t\,\mathrm{d}t=\Bigl[t\ln t\Bigr]_1^e-\int_1^e 1\,\mathrm{d}t=e-(e-1)=1 .$$Finalement
$$\boxed{\ \int_1^e\ln^{2}t\,\mathrm{d}t=e-2. }$$