Racines de la dérivée d'un polynôme quadratique

Racines de la dérivée d’un polynôme quadratique

Soit $P$ un polynôme quadratique^EN avec ses racines^EN $a,b \in \mathbb{C}$ . Quelles sont les racines de sa dérivée $P'$ ?

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Solution by Nolan_2o

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Nous savons que $P$ est un polynôme de degré 2 admettant pour racines $a$ et $b$ , deux nombres complexes. $P$ peut alors s’écrire sous la forme

$P = c(X-a)(X-b),$

avec $c$ le coefficient dominant de $P$ . En développant cette expression, on obtient ainsi

$P = cX^2-c(a+b)X+cab.$

On peut alors dériver $P$ pour obtenir

$P' = 2cX-c(a+b).$

On trouve donc que $P'$ admet pour unique racine

$\frac{a+b}{2}.$

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