Racines des polynômes de Taylor du sinus

Le polynôme $P_n$ est le développement de Taylor de $\sin$ en $0$ à l’ordre $2n+1$. Deux informations vont suffire :

• une estimation quantitative de $\sin x-P_n(x)$, qui garantit que $P_n$ oscille comme $\sin$ tant que $|x|$ reste sous un seuil $A_n$ ;
• un fait qualitatif : la différence $\sin x-P_n(x)$ garde un signe constant sur $\mathbb{R}_+^{*}$, ce qui interdit à $P_n$ d’avoir des racines parasites et permet un comptage exact, intervalle par intervalle.

Le seuil $A_n$ vaudra $\sim 2n/e$ par la formule de Stirling, et l’on montrera qu’au-delà d’un seuil $B_n$ du même ordre il n’y a plus aucune racine. Comme $\sin$ possède deux zéros par période $2\pi$, on obtiendra $c_n\approx\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2n}{e}\cdot 2/2$, soit $\frac{4n}{e\pi}$.

Dans toute la suite $n\geqslant 1$, et l’on pose $\delta=\tfrac12$.

Étape 1 : Le seuil de bonne approximation

Les dérivées successives de $\sin$ étant bornées par $1$, l’inégalité de Taylor–Lagrange donne
$$\forall x\in\mathbb{R},\qquad \bigl|\sin x-P_n(x)\bigr|\ \leqslant\ \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!} .$$Posons
$$A_n=\bigl(\delta\,(2n+2)!\bigr)^{1/(2n+2)} ,$$de sorte que $|x|\leqslant A_n$ entraîne $\bigl|\sin x-P_n(x)\bigr|\leqslant\delta<1$. Sur $[-A_n,A_n]$, le polynôme $P_n$ suit donc la sinusoïde d’assez près pour changer de signe aux mêmes endroits, ce que l’étape 3 rendra précis.

Étape 2 : Signe constant de la différence

Posons $f_n=(-1)^n\bigl(P_n-\sin\bigr)$.

Lemme. $f_n>0$ sur $\mathbb{R}_+^{*}$.

Preuve. Comme $P_n$ est le polynôme de Taylor de $\sin$ à l’ordre $2n+1$, on a $f_n^{(k)}(0)=0$ pour $0\leqslant k\leqslant 2n+1$. Par ailleurs $P_n^{(2n+1)}=(-1)^n$ est constante et $\sin^{(2n+1)}=(-1)^n\cos$, d’où
$$f_n^{(2n+1)}(t)=(-1)^n\bigl((-1)^n-(-1)^n\cos t\bigr)=1-\cos t\ \geqslant 0 .$$La formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre $2n$ s’écrit donc, pour $x>0$,
$$f_n(x)=\int_{0}^{x}\frac{(x-t)^{2n}}{(2n)!}\bigl(1-\cos t\bigr)\,\mathrm{d}t\ >\ 0,$$l’intégrande étant positif et non identiquement nul. $\square$

Autrement dit, $P_n-\sin$ est du signe de $(-1)^n$ sur $\mathbb{R}_+^{*}$. Il sera commode de poser
$$g_n=(-1)^nP_n,\qquad\text{de sorte que}\qquad g_n(x)>(-1)^n\sin x \quad\text{pour } x>0 .$$Enfin, la relation $P_n''=-P_{n-1}$ jointe au lemme appliqué au rang $n-1$ donne sur $\mathbb{R}_+^{*}$
$$g_n''=(-1)^{n+1}P_{n-1}\ >\ (-1)^{n+1}\sin \qquad \qquad \qquad \tag{$\star$}$$

Étape 3 : Comptage des racines sous le seuil

Fixons $k\in\mathbb{N}$ et travaillons sur $I_k=[k\pi,(k+1)\pi]$, où $\sin$ est du signe de $(-1)^{k}$.

Cas $k\equiv n \pmod 2$ : aucune racine. Alors $(-1)^n\sin=|\sin|\geqslant 0$ sur $I_k$, donc $g_n>0$ sur $I_k\cap\mathbb{R}_+^{*}$ et $P_n$ ne s’y annule pas.

Cas $k\not\equiv n \pmod 2$ : au plus deux racines. Alors $(-1)^{n+1}\sin=|\sin|\geqslant 0$ sur $I_k$, et $(\star)$ donne $g_n''>0$ : la fonction $g_n$ est strictement convexe sur $I_k$, donc y admet au plus deux zéros.

Ces deux racines existent bien si $(k+1)\pi\leqslant A_n$. Aux extrémités, $g_n(k\pi)>(-1)^n\sin(k\pi)=0$ et de même $g_n((k+1)\pi)>0$. Au milieu $x_k=\bigl(k+\tfrac12\bigr)\pi$, on a $\sin x_k=(-1)^{k}=(-1)^{n+1}$, donc $(-1)^n\sin x_k=-1$, et l’étape 1 donne
$$g_n(x_k)\ \leqslant\ (-1)^n\sin x_k+\delta\ =\ -1+\delta\ <\ 0 .$$Le théorème des valeurs intermédiaires fournit une racine de part et d’autre de $x_k$, et la convexité interdit d’en avoir davantage : il y en a exactement deux, simples.

Bilan. Les entiers $k\not\equiv n\ (2)$ vérifiant $(k+1)\pi\leqslant A_n$ forment une progression arithmétique de raison $2$, donc sont au nombre de $\frac{A_n}{2\pi}+O(1)$. Chacun apporte exactement deux racines, et l’intervalle résiduel en apporte au plus deux. En ajoutant la racine simple $x=0$ et en invoquant l’imparité de $P_n$, le nombre de racines réelles dans $[-A_n,A_n]$ vaut
$$\frac{2A_n}{\pi}+O(1),$$et elles sont toutes simples. Retenons aussi que $P_n$ a au plus deux racines par intervalle de longueur $\pi$, donc $O(L)$ racines dans tout intervalle de longueur $L\geqslant\pi$.

Étape 4 : Plus aucune racine au-delà d’un second seuil

Reprenons l’expression intégrale de $f_n$ et minorons brutalement, pour $x\geqslant 1$, en ne gardant que $t\in[0,1]$ et en utilisant $(x-t)^{2n}\geqslant(x-1)^{2n}$ :
$$f_n(x)\ \geqslant\ \frac{(x-1)^{2n}}{(2n)!}\int_{0}^{1}(1-\cos t)\,\mathrm{d}t\ =\ \beta\,\frac{(x-1)^{2n}}{(2n)!},\qquad \beta=1-\sin 1>0 .$$Posons
$$B_n=1+\left(\frac{2}{\beta}\,(2n)!\right)^{1/2n} .$$Pour $x\geqslant B_n$, on a $\bigl|P_n(x)-\sin x\bigr|\geqslant 2$, donc $|P_n(x)|\geqslant 2-|\sin x|\geqslant 1>0$. Par imparité, $P_n$ n’a donc aucune racine hors de $\,]-B_n,B_n[\,$.

Étape 5 : Stirling et conclusion

La formule de Stirling donne $(m!)^{1/m}\sim m/e$, et l’ajout d’un facteur constant sous la racine $m$-ième ne modifie pas l’équivalent puisque $c^{1/m}\to 1$. D’où
$$A_n\ \sim\ \frac{2n+2}{e}\ \sim\ \frac{2n}{e},\qquad B_n\ \sim\ \frac{2n}{e}\ .$$En particulier $B_n-A_n=o(n)$. Décomposons alors le décompte :
$$c_n=\underbrace{\frac{2A_n}{\pi}+O(1)}_{\text{racines dans }[-A_n,A_n]}\ +\ \underbrace{O\bigl(B_n-A_n\bigr)}_{\text{racines dans } A_n\leqslant|x|<B_n}\ +\ \underbrace{0}_{|x|\geqslant B_n},$$la majoration du terme médian venant de la dernière remarque de l’étape 3. Comme $\frac{2A_n}{\pi}\sim\frac{4n}{e\pi}$ et que les deux autres termes sont $o(n)$, on conclut
$$c_n\ \sim\ \frac{4n}{e\pi}. \qquad\blacksquare$$

Remarques

• Une constante amusante. L’équivalent $\frac{4n}{e\pi}\approx 0{,}468\,n$ signifie que $P_n$, de degré $2n+1$, n’a qu’environ $23\,\%$ de ses racines réelles. Les $77\,\%$ restantes sont complexes et s’accumulent, après renormalisation par $2n/e$, le long d’une courbe de Szegő, le lieu $|z\mathrm{e}^{1-z}|=1$.
• Généralisation. Le même schéma s’applique aux sommes partielles de $\cos$, ou plus généralement à toute fonction entière d’ordre $1$ dont les zéros réels sont régulièrement espacés.