Roots of a quadratic equation with a parameter

Solution : For $m\in ]-\infty,0[\cup ]0,1[$.

There is a trap : one is tempted to use the discriminant, which is :
$$\Delta=4(m+1)^2-4 m(m+3)=4\left[\left(m^2+2 m+1\right)-\left(m^2+3 m\right)\right]=4(1-m)$$so the discriminant is strictly positive if and only if $m<1$.
However, the discriminant can be only used when the quadratic equation is not degenerate, that is, when $m\neq 0$. For $m=0$, the equation is linear, with only one solution. So $m=0$ has to be removed from the admissible $m$.

This is a great illustration of why it is important to make sure we fully understand every term in a problem before trying to solve it, since this can change the solution.

Solution : pour $m\in ]-\infty,0[\cup ]0,1[$.

Pour trouver les racines d’une équation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c = 0$, on calcule d’abord le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Le nombre de solutions dépend du signe de $\Delta$ : s’il est positif, il y a deux racines ; s’il est nul, une racine double ; s’il est négatif, aucune racine réelle

Dans notre cas :
$$\Delta=4(m+1)^2-4 m(m+3)=4\left[\left(m^2+2 m+1\right)-\left(m^2+3 m\right)\right]=4(1-m)$$

Le discriminant est donc strictement positif si et seulement si $m<1$.

Mais attention, il y a ici un piège : dans le cas d’une équation du second degré dont le coefficient a est nul (équation alors qualifiée de dégénérée), il n’existe qu’une solution unique.
Dans notre cas, il faut donc exclure la situation où $m=0$

Ceci constitue une bonne illustration du fait qu’il faut toujours vérifier soigneusement que nous avons bien compris tous les termes de l’énoncé avant de commencer la résolution du problème.