Racines rationelles d’un polynôme unitaire de $\mathbb{Z}[X]$

On note $a_{0},...,a_{n-1}, a_{n}$ les coefficients de $P$ (donc $a_{n}=1$)
Soient $p,q \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N^{*}}, pgcd(p,q)=1, \text{ tel que } r=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ soit racine de $P$.

Il vient $P(r)=a_{0}+a_{1}\frac{p}{q}+...+a_{n-1}(\frac{p}{q})^{{n-1}}+(\frac{p}{q})^{{n}}=0$
Donc $p^{n}=-a_{n-1}p^{n-1}q-...-a_{1}pq^{n-1}-a_{0}q^{n}=-q(a_{n-1}p^{n-1}-...-a_{1}pq^{n-2}-a_{0}q^{n-1})$
Donc $q | p^{n}$, or $pgcd(p,q)=1$, donc $q|p$.
Il vient que $q \in \{-1,1\}$.
Donc $r=p \in \mathbb{Z}$