Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Racines rationelles d’un polynôme unitaire de Z[X]\mathbb{Z}[X]

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Solution

Solution by Uettechat · FR

On note a0,...,an−1,ana_{0},...,a_{n-1}, a_{n} les coefficients de PP (donc an=1a_{n}=1)
Soient p,q∈Z×N∗,pgcd(p,q)=1, tel que r=pq∈Qp,q \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N^{*}}, pgcd(p,q)=1, \text{ tel que } r=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q} soit racine de PP.

Il vient P(r)=a0+a1pq+...+an−1(pq)n−1+(pq)n=0P(r)=a_{0}+a_{1}\frac{p}{q}+...+a_{n-1}(\frac{p}{q})^{{n-1}}+(\frac{p}{q})^{{n}}=0
Donc pn=−an−1pn−1q−...−a1pqn−1−a0qn=−q(an−1pn−1−...−a1pqn−2−a0qn−1)p^{n}=-a_{n-1}p^{n-1}q-...-a_{1}pq^{n-1}-a_{0}q^{n}=-q(a_{n-1}p^{n-1}-...-a_{1}pq^{n-2}-a_{0}q^{n-1})
Donc q∣pnq | p^{n}, or pgcd(p,q)=1pgcd(p,q)=1, donc q∣pq|p.
Il vient que q∈{−1,1}q \in \{-1,1\}.
Donc r=p∈Zr=p \in \mathbb{Z}

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