Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Linear algebraExercise

Reconnaître un espace vectoriel

by Ancient Tree·
26
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des espaces vectoriels sur R\R pour l’addition ?

  1. N\N
  2. Z\Z
  3. R\R
  4. R2\R^{2}

Pour ceux qui ne sont pas des espaces vectoriels, expliquer quelle propriété fait défaut.

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Solutions

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Solution by Ancient Tree

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  1. N\N n’est pas stable par soustraction (l’inverse de l’addition), et donc n’est pas un groupe pour l’addition.
    Par exemple, 1∈N1\in \N mais −1∉N-1\notin \N.

En particulier, ce n’est pas un espace vectoriel.

  1. Z\Z est bien un groupe abélien pour l’addition. Cependant, il n’est pas stable par multiplication par un réel.
    Par exemple, 2∈Z2\in \Z, mais 1.2×2=2.41.2\times 2=2.4 n’est pas dans Z\Z.

Donc Z\Z n’est pas un espace vectoriel.

  1. R\R est un espace vectoriel.
  2. R2\R^{2} également.
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