Relation entre les angles intérieurs et extérieurs d’un triangle

Soit un triangle $ABC$ et $D$ un point de la droite $(BC)$ qui n’appartient pas au segment $[BC]$ .

Montrer que l’angle $\widehat {ACD}$ est plus grand que chacun des deux angles opposés à l’intérieur du triangle $\widehat {ABC}$ et $\widehat {BAC}$ .

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Euclide. Eléments.

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Livre 1. Proposition 16

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Solution by goldfinch

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Soient $E$ le milieu de $AC$ , et $F$ sur la droite $(BE)$ tel que $BE=EF$ .

Considérons les deux triangles $AEB$ et $CEF$ .
Les deux côtés $AE$ et $BE$ sont égaux respectivement à $EC$ et $EF$ par construction, et les deux angles au sommet E sont égaux $\widehat {AEB}=\widehat{CEF}$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème une propriété des angles opposés au sommet).
Deux triangles ayant à la fois deux côtés respectivement égaux et aussi deux angles égaux auront aussi leurs autres angles respectivement égaux (pour démontrer ce point, voir le problème Egalité de triangles). Ainsi, en particulier, l’angle $\widehat{BAC}$ est égal à l’angle $\widehat{ECF}$ , qui lui est une partie de $\widehat{ACD}$ , donc $\widehat {ACD}>\widehat {BAC}$ .

Pour montrer que $\widehat {ACD}>\widehat {ABC}$ , procéder de même en construisant $H$ milieu de $BC$ , et $I$ sur la droite $(AH)$ tel que $AH=HI$ .
Considérons les deux triangles $ABH$ et $HCI$ .
Les deux côtés $AH$ et $BH$ sont égaux respectivement à $HI$ et $HC$ par construction, et les deux angles au sommet $H$ sont égaux $BHA=IHC$ .
Deux triangles ayant deux côtés respectivement égaux et deux angles égaux auront aussi leurs autres angles respectivement égaux. Ainsi, en particulier, l’angle $\widehat{ABH}$ est égal à l’angle $\widehat{HCI}$ , qui lui est une partie de $\widehat{BCG}$ , avec $\widehat {BCG}=\widehat {ACD}$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème une propriété des angles opposés au sommet), donc $\widehat {ACD}>\widehat {ABC}$ .

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