Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/GroupExerciseReviewed

Scoop sur la caractérisation des sous-groupes distingués

by Ancient Tree·
36
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Soit GG un groupe et HH un sous-groupe de GG.
Montrer que HH est distingué dans GG si et seulement si
∀h,k∈G,  hk∈H  ⟹  kh∈H.\forall h,k\in G,\; hk\in H \implies kh\in H.

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References

  1. Phil Caldero — Un scoop sur la caractérisation des sous-groupes distingués (par Paul Broussous)
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Exercice 2.32, p. 31. Vidéo de Phil Caldero avec le même titre https://www.youtube.com/watch?v=RiYMeW4YYYA L'exercice existe dans le livre : Rotman, An Introduction to the Theory of Groups

  1. Joseph J. Rotman — An Introduction to the Theory of Groups

    Exercice 2.32, p. 31

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Solution by Ancient Tree

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  • Implication directe :
    Supposons que HH est distingué dans GG. Soient hh et kk dans GG tels que hk∈Hhk\in H. Notons hk=u∈Hhk=u\in H.
    Alors, k=h−1uk=h^{-1}u, mais comme HH est distingué dans GG, il existe un élément vv de HH tel que h−1u=vh−1h^{-1}u=vh^{-1}.
    D’où k=vh−1k=vh^{-1}, et donc kh=v∈Hkh=v\in H.

  • Réciproque :
    Supposons que pour tous h,kh,k de GG, si h,k∈Gh,k\in G tels que hk∈Hhk\in H, alors kh∈Hkh\in H.

Soit gg dans GG et hh dans HH. On utilise le fait que g−1(gh)=h∈Hg^{-1}(gh)=h\in H, d’où par hypothèse, on a également ghg−1ghg^{-1} dans HH, et donc HH est normal dans GG.

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