Scoop sur la caractérisation des sous-groupes distingués

• Implication directe :
  Supposons que $H$ est distingué dans $G$. Soient $h$ et $k$ dans $G$ tels que $hk\in H$. Notons $hk=u\in H$.
  Alors, $k=h^{-1}u$, mais comme $H$ est distingué dans $G$, il existe un élément $v$ de $H$ tel que $h^{-1}u=vh^{-1}$.
  D’où $k=vh^{-1}$, et donc $kh=v\in H$.

• Réciproque :
  Supposons que pour tous $h,k$ de $G$, si $h,k\in G$ tels que $hk\in H$, alors $kh\in H$.

Soit $g$ dans $G$ et $h$ dans $H$. On utilise le fait que $g^{-1}(gh)=h\in H$, d’où par hypothèse, on a également $ghg^{-1}$ dans $H$, et donc $H$ est normal dans $G$.