S’entraîner au binôme de Newton

$\textbf{1)}$ On applique la formule du binôme de Newton pour développer $(a+b)^{3}$
$(a+b)^{3} = \binom{3}{0} a^{3}b^{0}+\binom{3}{1}a^{2}b^{1} + \binom{3}{2}a^{1}b^{2} + \binom{3}{3}a^{0}b^{3}$
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Pour calculer les coefficients binomiaux, on peut utiliser la formule avec les factorielles :
$\forall n \in \N, \forall k \in [\![0,n]\!] , \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
ou bien utiliser le triangle de Pascal.
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Ici l’exposant est suffisament petit, on peut se référer au triangle de Pascal. On regarde la ligne $n=3$.
Ainsi on a : $\binom{3}{0} = 1$ , $\binom{3}{1} = 3$, $\binom{3}{2} = 3$ et $\binom{3}{3} = 1$
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En conclusion : $(a+b)^{3} = a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
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$\textbf{2)}$ On développe à la main $(a+b)^{3} = (a+b)(a+b)(a+b)$
$(a+b)^{3} = (a+b)(a^{2} + ab+ba+b^{2}) = (a+b)(a^{2}+2ab+b^{2})$$= a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^2 + b^3$
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On arrive au même résultat.