Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Power series

Série génératrice des décimales de 3\sqrt{3}

by FiniteField·
41
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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On note ana_n la nn-ème décimale de 3.\sqrt{3}. Quel est le domaine de définition de x∈R⟼∑n=1+∞anxnx\in\R\longmapsto\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_n x^n ?

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  1. Oral Mines-Ponts filière MP 2007 (RMS 118-2 484)
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On note RR le rayon de convergence de la série entière. Puisque 3\sqrt{3} est irrationnel, il est en particulier non décimal. Ainsi, (an)(a_n) n’est pas nulle à partir d’un certain rang donc ∑n≥1an\displaystyle\sum_{n\geq 1}a_n diverge. On en déduit que R≤1.R\leq 1. Par ailleurs, ∀n∈N∗,an≤9\forall n\in\mathbb{N}^*, a_n\leq 9 donc le rayon de convergence de notre série est plus grand que celui de ∑n≥19xn\displaystyle\sum_{n\geq 1}9x^n donc R≥1.R\geq 1. Donc R=1.R=1. La fonction correspondante est donc définie au moins sur ]−1,1[]-1,1[. Par ailleurs, elle n’est ni définie en −1-1 ni 11 donc son ensemble de définition est ]−1,1[.]-1,1[.

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