Séries de même nature ?

Solution en vidéo : https://youtu.be/Rc8wSV9U-CU

On commence par remarquer que, par positivité de $(a_n),\forall n\in\mathbb{N}, 0\leq b_n\leq a_n$. Par conséquent,

• Si $\displaystyle\sum a_n$ converge alors $\displaystyle\sum b_n$ converge par comparaison.
• Si $\displaystyle\sum b_n$ diverge alors $\displaystyle\sum a_n$ diverge également par minoration.
  Il nous reste à traiter le cas où $\displaystyle\sum b_n$ converge et celui où $\sum a_n$ diverge. Supposons que $\displaystyle\sum b_n$ converge alors $b_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 0$ mais puisque $a_n=\dfrac{b_n}{1-b_n}$ (on a $\forall n\in\mathbb{N}, b_n<1$) alors $a_n\sim b_n.$ Deux séries à termes positifs de termes généraux équivalents étant de même nature on en déduit que $\displaystyle\sum a_n$ converge. Enfin, supposons que $\displaystyle\sum a_n$ diverge et distinguons deux cas :
• Si $a_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 0$ alors $b_n\sim a_n$ donc, $\displaystyle\sum b_n$ diverge également.
• Sinon $(a_n)$ ne tend pas vers $0$ mais alors $(b_n)$ ne tend pas non plus vers $0$ (car la convergence vers $0$ de $(b_n)$ entraîne celle de $(a_n)$). Donc $\displaystyle\sum b_n$ diverge grossièrement.
  On a traité tous les cas et on peut conclure que $\displaystyle\sum a_n$ et $\displaystyle\sum b_n$ sont de même nature quoiqu’il arrive.