Séries de même nature ?

Solution en vidéo : https://youtu.be/Rc8wSV9U-CU

On commence par remarquer que, par positivité de $(a_n),\forall n\in\mathbb{N}, 0\leq b_n\leq a_n$. Par conséquent,

• Si $\displaystyle\sum a_n$ converge alors $\displaystyle\sum b_n$ converge par comparaison.
• Si $\displaystyle\sum b_n$ diverge alors $\displaystyle\sum a_n$ diverge également par minoration.
  Il nous reste à traiter le cas où $\displaystyle\sum b_n$ converge et celui où $\sum a_n$ diverge. Supposons que $\displaystyle\sum b_n$ converge alors $b_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 0$ mais puisque $a_n=\dfrac{b_n}{1-b_n}$ (on a $\forall n\in\mathbb{N}, b_n<1$) alors $a_n\sim b_n.$ Deux séries à termes positifs de termes généraux équivalents étant de même nature on en déduit que $\displaystyle\sum a_n$ converge. Enfin, supposons que $\displaystyle\sum a_n$ diverge et distinguons deux cas :
• Si $a_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 0$ alors $b_n\sim a_n$ donc, $\displaystyle\sum b_n$ diverge également.
• Sinon $(a_n)$ ne tend pas vers $0$ mais alors $(b_n)$ ne tend pas non plus vers $0$ (car la convergence vers $0$ de $(b_n)$ entraîne celle de $(a_n)$). Donc $\displaystyle\sum b_n$ diverge grossièrement.
  On a traité tous les cas et on peut conclure que $\displaystyle\sum a_n$ et $\displaystyle\sum b_n$ sont de même nature quoiqu’il arrive.

Premièrement, puisque $(a_{n})$ est positive, on remarque que $(b_{n})$ est bien définie ($\forall n \in \N, 1 +a _{n} \ne 0$) et positive.

$\textbf{Cas n°1 : }$ Si $(a_{n})$ converge vers $0$.
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On a alors $b_{n} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{a_{n}}{1} = a_{n}$
Comme $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont deux suites positives et équivalentes, on en déduit que $\sum\limits a_{n}$ et $\sum\limits b_{n}$ sont de même nature.
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$\textbf{Cas n°2 :}$ Si $(a_{n})$ ne converge pas vers 0.

On a : $\exists \varepsilon > 0, \forall n_{0} \in \N, \exists n \geqslant n_{0}, |a_{n} - 0| > \varepsilon$
On fixe un tel $\varepsilon$.
Cette proposition permet de dire qu’il existe une sous-suite $(a_{\varphi(n)})$ de $(a_{n})$ minorée par $\varepsilon >0$.
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$\textbf{Cas n°2.1 :}$ Si $(a_{\varphi(n)})$ est majorée
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$(a_{\varphi(n)})$ est majorée et minorée donc bornée, ainsi par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut extraire une sous-suite convergente $(a_{\varphi(\psi(n))})$ dont sa limite est notée $\ell$.
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Comme $(a_{\varphi(n)})$ est minorée par $\varepsilon$, en particulier $(a_{\varphi(\psi(n))})$ est minorée par $\varepsilon$.
Donc on a $\ell \geqslant \varepsilon > 0$

Ainsi par opérations sur les limites : $b_{\varphi(\psi(n))} = \frac{a_{\varphi(\psi(n))}}{1 + a_{\varphi(\psi(n))}} \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} \frac{\ell}{1 + \ell} \ne 0$

$\textbf{Cas n°2.2 :}$ Si $(a_{\varphi(n)})$ n’est pas majorée

On a : $\forall M > 0, \exists n \in \N, a_{n} > M$
Cette proposition permet de dire qu’il existe une sous-suite $(a_{\varphi(\psi(n))})$ divergente vers $+\infty$

$b_{\varphi(\psi(n))} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{a_{\varphi(\psi(n)}}{a_{\varphi(\psi(n))}} = 1$
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$\textbf{Conclusion du cas n°2 :}$

Dans les deux cas, comme $(b_{\varphi(\psi(n))})$ ne converge pas vers $0$, $(b_{n})$ ne converge pas vers $0$.

Ainsi, puisque $(a_{n})$ et $(b_{n})$ ne convergent pas vers $0$, les séries $\sum\limits a_{n}$ et $\sum\limits b_{n}$ sont toutes deux grossièrement divergentes.
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$\textbf{Conclusion générale : }$
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Quels que soient les cas, $\sum\limits a_{n}$ et $\sum\limits b_{n}$ sont de même nature.