Simplicité des racines du polynôme de Taylor d'ordre $n$ de l'exponentielle en $0$

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ , notons $P_{n}$ le polynome suivant :
$P_n(X) = \sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}.$ Montrez que $P_n$ n’admet que des racines simples.

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Solution by SalixBabylonica

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Soit $n \in \mathbb{N}^*$ .
Raisonnons par l’absurde.
Supposons qu’il existe $a$ une racine d’ordre au moins $2$ de $P_{n}$ .
Alors, dans ce cas, on a, a priori, $P_n(a)=0$ et $P_{n}'(a)=0$ .
Or, remarquons que
$P_{n}'(X) = \sum_{k=1}^{n} \frac{X^{k-1}}{(k-1)!} = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{X^k}{k!} = P_{n}(X) - \frac{X^{n}}{n!}.$ D’où, en évaluant en $a$ , cette relation, on obtient que
$0=\frac{a^{n}}{n!}$ Autrement dit, $a=0$ mais $a$ est une racine de $P_{n}$ , donc $P_n(0)=0$ ce qui est absurde puisque $P_{n}(0)=1$ .

D’où $a$ ne peut être une racine d’ordre supérieur à strict à $1$ .
Donc toutes les racines de $P_{n}$ sont des racines simples.

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