Simplicité des racines du polynôme de Taylor d’ordre $n$ de l’exponentielle en $0$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
Raisonnons par l’absurde.
Supposons qu’il existe $a$ une racine d’ordre au moins $2$ de $P_{n}$.
Alors, dans ce cas, on a, a priori, $P_n(a)=0$ et $P_{n}'(a)=0$.
Or, remarquons que
$$P_{n}'(X) = \sum_{k=1}^{n} \frac{X^{k-1}}{(k-1)!} = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{X^k}{k!} = P_{n}(X) - \frac{X^{n}}{n!}.$$D’où, en évaluant en $a$, cette relation, on obtient que
$$0=\frac{a^{n}}{n!}$$Autrement dit, $a=0$ mais $a$ est une racine de $P_{n}$, donc $P_n(0)=0$ ce qui est absurde puisque $P_{n}(0)=1$.

D’où $a$ ne peut être une racine d’ordre supérieur à strict à $1$.
Donc toutes les racines de $P_{n}$ sont des racines simples.