Somme d’une série de fonctions

1. Je renvoie à la solution de FiniteField pour cette question car je n’ai rien de mieux à ajouter.
2. On considère ici une variable $X$ et $x\in\R\backslash\{\pm1\}$.
   On a alors la décomposition en éléments simples

$$\frac{X}{(x-X)(1-X)}=\frac{1}{1-x}\left(\frac{x}{x-X}-\frac{1}{1-X}\right)$$Si maintenant on prend $n\in\N$ et $X=x^{n+1}$ alors on trouve
$$\frac{x^{n+1}}{(x-x^{n+1})(1-x^{n+1})}=\frac{1}{1-x}\left(\frac{x}{x-x^{n+1}}-\frac{1}{1-x^{n+1}}\right),$$relation que l’on peut réécrire
$$\frac{x^{n}}{(1-x^{n})(1-x^{n+1})}=\frac{1}{1-x}\left(\frac{1}{1-x^{n}}-\frac{1}{1-x^{n+1}}\right).$$On peut alors sommer sur $n\in\N$ et user du télescopage pour obtenir
$$f(x)=\frac{1}{1-x}\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{1-x^n}-\frac{1}{1-x^{n+1}}\right)=\frac{1}{1-x}\left(\frac{1}{1-x^1}-\underset{n\to+\infty}{\lim}\frac{1}{1-x^{n+1}}\right).$$où la limite vaut $1$ si $\vert x\vert<1$ et $0$ sinon.

Ce qui donne enfin:
$$\forall x\in]-1,1[, f(x)=\frac{x}{(1-x)^2}.$$et
$$\forall x\in\R, \vert x\vert>1 \implies f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}.$$