Sous-espace d’un espace à base dénombrable.

Oui.

En effet : Soit $V$ un ouvert de $Y$. Par définition de sous-espace topologique, $Y$ est muni de la topologie induite ; donc $V$ est de la forme $U\cap Y$ avec $U$ un ouvert de $X$.
Soit $\mathcal{B}$ une base dénombrable de $X$. $U$ s’écrit donc comme une union dénombrable des ouverts $O_{n}$ de $\mathcal{B}$ :
$$U=\bigcup_{n \in \N} O_n.$$

D’où :
$$V=U \cap Y=\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} O_n\right) \cap Y=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}\left(O_n \cap Y\right)$$Ceci montre que $\mathcal{B}'$, la base de $Y$ constituée des $O_{n}\cap Y$, est une base dénombrable de $Y$.