Soit $S \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})$
Montrons que : $\exists ! R \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R}), R^{2} = S$

Existence

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$S$ est symétrique réelle donc orthodiagonalisable par le théorème spectral pour les endomorphismes auto-adjoints. Ils existent donc $P \in \mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$ orthogonale et $D = diag(\lambda_{i})_{i\in [\![ 1,n ]\!]}$ diagonale dont ses coefficients sont les valeurs propres de $S$ telles que $S = P^{T} D P = P^{-1}DP$.
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Comme $S \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})$, le spectre de $S$ est positif. On peut donc considérer la matrice diagonale $\Delta$ définie par $\Delta = diag(\sqrt{\lambda_{i}})_{i \in [\![1,n]\!]}$.
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On pose ensuite $R = P^{T} \Delta P$
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Cette matrice est bien une racine carrée de $S$ dans $\mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})$ :

• $R^{2} = (P^{-1} \Delta P)^{2} = P^{-1} \Delta^{2} P = P^{-1}DP = S$
• $R^{T} = (P^{T} \Delta P)^{T} = P^{T} \Delta^{T} (P^{T})^{T} = P^{T} \Delta P = R$, donc $R \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})$
• $R$ est à spectre positif (son spectre est $(\sqrt{\lambda_{i}})_{i \in [\![1,n]\!]}$) donc $R \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})$
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Unicité

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Soit $R' \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})$ vérifiant $R'^{2} = S$. Montrons que $R = R'$ où $R$ est la même matrice que celle de la phase "Existence" de la preuve. Ce qui permettra de dire que $R$ est la seule racine carrée de $S$ dans $\mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})$.
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Par interpolation de Lagrange, il existe un polynôme $Q$ vérifiant : $\forall i \in [\![1,n]\!], Q(\lambda_{i}) = \sqrt{\lambda_{i}}$
Nous avons ainsi la relation polynomiale entre $R$ et $S$ suivante :
$Q(S) = Q(P^{-1} D P) = P^{-1} Q(D)P = P^{-1} diag(Q(\lambda_{i})) P = P^{-1} diag(\sqrt{\lambda_i}) P = P^{-1} \Delta P= R$
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La relation $R'^{2} = S$ nous dit que $S$ est un polynôme en $R'$, par conséquent $R'$ commute avec $S$ et plus généralement avec tout polynôme en $S$ donc, en particulier, avec $R$.
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De plus, $R$ et $R'$ sont des matrices symétriques réelles donc sont diagonalisables par le théorème spectral.
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Donc, comme $R$ et $R'$ sont diagonalisables et commutent, nous pouvons alors les diagonaliser simultanément. Il existe alors une matrice $\tilde{P} \in GL_{n}(\mathbb{R})$ telle que $R = \tilde{P}^{-1} \Delta \tilde{P}$ et $R' = \tilde{P}^{-1} \Delta' \tilde{P}$ où $\Delta'$ est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de $R'$.
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En partant du fait que $R$ et $R'$ sont racines carrées de $S$ : $S = R^{2} = R'^{2}$
On a : $\tilde{P}^{-1} \Delta^{2} \tilde{P} = \tilde{P}^{-1} (\Delta') ^{2} \tilde{P}$ puis en simplifiant par $\tilde{P}$ et $\tilde{P}^{-1}$ : $\Delta^{2} = (\Delta')^{2}$.
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En notant par $(\mu_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$ le spectre de $R'$, la relation $\Delta^{2} = (\Delta')^{2}$ nous dit que $\forall i \in [\![1,n]\!], \lambda_i = \mu_{i} ^2$.
Comme le spectre de $R'$ est positif car $R' \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})$, on a $\forall i \in [\![1,n]\!], \mu_{i} = \sqrt{\lambda_{i}}$.
Ce qui permet de conclure en affirmant que $\Delta = \Delta'$ et ainsi $\fbox{R = R'}$.
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Remarques supplémentaires

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$\textbf{1)}$ On peut montrer plus généralement que n’importe quelle matrice de $\mathcal{S}^{+}_{n}(\mathbb{R})$ admet une unique racine $k$-ième pour tout $k \in \mathbb{N}^{*}$ en suivant le même raisonnement.

$\textbf{2)}$ Toute matrice de $S_{n}^{++}(\mathbb{R})$ admet une unique racine carrée (même racine $k$-ième) dans $S_{n}^{+}(\mathbb{R})$, cette racine qui est dans $S_{n}^{+}(\mathbb{R})$ est en fait également dans $S_{n}^{++}(\mathbb{R})$. En effet, soit $M \in S_{n}^{++}(\mathbb{R})$, $M$ est dans $S_{n}^{+}(\mathbb{R})$ car $S_{n}^{++}(\mathbb{R}) \subset S_{n}^{+}(\mathbb{R})$ donc admet une unique racine $k$-ième dans $S_{n}^{+}(\mathbb{R})$ que l’on note $R$. Cela signifie que : $S = R^{k}$ , en passant ainsi au déterminant $\det(S) = (\det(R))^{k}$ . On montre que $\det(R) \ne 0$ car $\det(S) \ne 0$, ainsi $R \in S_{n}^{++}(\mathbb{R})$.

$\textbf{3)}$ On montre à travers ce résultat que les matrices symétriques positives sont exactement les matrices de Gram. Les matrices des Gram sont les matrices de la forme $M^{T} M$ où $M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ . On peut vérifier que les matrices de Gram sont symétriques positives :

• $\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), (M^{T}M)^{T} = M^{T}(M^{T})^{T} = M^{T}M$
• $\forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}), X^{T}(M^{T}M)X = (MX)^{T}(MX) = ||MX||^{2} \ge 0$

Réciproquement les matrices symétriques positives peuvent être vues comme des matrices de Gram. Soit $S \in \mathcal{S}^{+}_{n}(\mathbb{R})$. $S$ admet une unique racine carrée $R \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})$. $S = R^{2} = RR = R^{T} R$