Stabilité de carrés premiers ?

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L'équation suivante admet-elle des solutions $(p,q,r)$ où $p,q,r$ sont tous premiers :
$p^{2}+q^{2}=r^{2}\quad ?$ Si oui, déterminer le cardinal de l’ensemble solution.

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L’ensemble des solutions est vide, de cardinal 0.
Supposons $p^2+q^2=r^2$ avec $p, q, r$ premiers. Alors $r>p$ et $r>q$ , donc $r \geq 3$ et $r$ est impair.
Si $p$ et $q$ étaient tous deux impairs, $p^2+q^2$ serait pair, donc $r^2$ serait pair et $r=2$ . C’est impossible.
L’un des deux vaut donc 2, disons $p=2$ (le cas $q=2$ est symétrique). Ainsi
$4=r^2-q^2=(r-q)(r+q) .$ Comme $q$ et $r$ sont impairs, les facteurs $r-q$ et $r+q$ sont pairs et positifs. La seule décomposition possible de 4 en deux tels facteurs est $r-q=r+q=2$ , ce qui donne $q=0$ . C’est absurde, puisque $q$ est premier.

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