Stabilizing polynomials

Montrons que ce sont exactement les polynômes
$$P(X)=\frac{10^{a}\,(9X+1)^{d}-1}{9},\qquad d\in\mathbb{N},\ a\in\mathbb{Z},\ a+d\geqslant 1 .$$Notons $R_m=\underbrace{11\cdots1}_{m}=\frac{10^{m}-1}{9}$, et l’on pose $E=\{R_m:m\geqslant 1\}$.
Un tel $P$ envoie $R_n$ sur $R_{dn+a}$ : il agit sur la longueur de l’écriture par la fonction affine $n\mapsto dn+a$.

L’application $x\mapsto 9x+1$ envoie bijectivement $E$ sur l’ensemble $\{10^{n}:n\geqslant 1\}$, puisque $9R_n+1=10^{n}$. Posons
$$Q(Y)=9\,P\!\left(\frac{Y-1}{9}\right)+1\ \in\mathbb{R}[Y],\qquad\text{de sorte que}\qquad Q(9x+1)=9P(x)+1 .$$Alors $P(R_n)=R_{m}$ équivaut à $Q(10^{n})=10^{m}$. La condition étudiée devient :
$$\forall n\geqslant 1,\ \exists\, m(n)\geqslant 1,\qquad Q(10^{n})=10^{m(n)} . \qquad \qquad\tag{$\ast$}$$La correspondance $P\leftrightarrow Q$ est bijective et préserve le degré.

Si $Q$ est constant, $(\ast)$ dit $Q\equiv 10^{a}$ avec $a\geqslant 1$, c’est-à-dire $P\equiv R_a$ : ce sont les solutions avec $d=0$.

Supposons $d=\deg Q\geqslant 1$, de coefficient dominant $c$. Comme $Q(10^{n})=10^{m(n)}>0$ pour tout $n$ et $Q(y)\sim cy^{d}$ en $+\infty$, on a $c>0$ et
$$10^{m(n)-dn}=\frac{Q(10^{n})}{10^{dn}}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ c .$$En passant au logarithme, la suite d’entiers $u_n=m(n)-dn$ converge vers $\log_{10}c$ : une suite d’entiers convergente est stationnaire, donc $u_n=a$ pour $n$ assez grand, et $c=10^{a}$ avec $a\in\mathbb{Z}$.

Le polynôme $Q(Y)-10^{a}Y^{d}$ s’annule alors en $10^{n}$ pour tout $n$ assez grand, donc est nul, ainsi $Q(Y)=10^{a}\,Y^{d}$.

Réinjectons dans $(\ast)$ : $Q(10^{n})=10^{dn+a}$, et il faut $dn+a\geqslant 1$ pour tout $n\geqslant 1$. Le cas le plus défavorable est $n=1$, d’où la condition exacte $a\geqslant 1-d$, soit $a+d\geqslant 1$. Elle englobe le cas constant ($d=0$, $a\geqslant 1$).

Réciproquement, pour $d\geqslant 0$ et $a+d\geqslant 1$, le polynôme $P(X)=\frac{10^{a}(9X+1)^{d}-1}{9}$ vérifie, pour tout $n\geqslant 1$,
$$P(R_n)=\frac{10^{a}\cdot 10^{dn}-1}{9}=R_{dn+a}\in E,$$puisque $dn+a\geqslant d+a\geqslant 1$. $\blacksquare$