Surjectivité préservée ?

Soit $\varphi \colon A\to B$ un morphisme d’anneaux surjectif et $\psi\colon A^{\times}\to B^{\times}$ le morphisme de groupes induit sur les inversibles. Est-ce que $\psi$ est surjectif en général ?
Soient $n$ et $m$ deux entiers tels que $m\mid n$ . Montrer que le morphisme canonique
$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\to(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ est surjectif.

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Solution by FiniteField

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C’est faux en général. Il suffit de prendre $p\geqslant 5$ n’importe quel nombre premier et $\mathbb{Z}\to \mathbb{F}_{p}$ le morphisme canonique. Les inversibles de $\mathbb{Z}$ sont $-1$ et $1$ alors que ceux de $\mathbb{F}_{p}$ sont $\mathbb{F}_{p}\setminus\set{0}$ donc de cardinal $p-1\geqslant 4.$
On pose $n=\displaystyle\prod_{p\text{ premier}} p^{\alpha_{p}}$ et $m=\displaystyle\prod_{p\text{ premier}} p^{\beta_{p}}$ les décompositions en facteurs premiers respectives de $n$ et $m$ avec $0\leqslant \beta_{p}\leqslant \alpha_{p}$ . On fixe $p$ premier et $\beta\leqslant\alpha$ et on considère
$\pi_{p}\colon \mathbb{Z}/p^{\alpha}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^{\beta}\mathbb{Z}$ la surjection canonique. Un élément $\overline{k}$ de $\mathbb{Z}/p^{\beta}\mathbb{Z}$ est inversible s’il n’est pas divisible par $p.$ La classe $[k]$ du représentant $k$ dans $\mathbb{Z}/p^{\alpha}\mathbb{Z}$ est alors aussi inversible si bien que $\pi_{p}([k])=\overline{k}$ donc $\pi_{p}$ reste surjective sur les inversibles.
On a donc, par le théorème des restes, des isomorphismes d’anneaux $\displaystyle\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq \prod_{p\text{ premier}}\mathbb{Z}/p^{\alpha}\mathbb{Z}$ et $\displaystyle\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\simeq \prod_{p\text{ premier}}\mathbb{Z}/p^{\beta}\mathbb{Z}$ si bien que le morphisme canonique se factorise en le produit de trois morphismes d’anneaux qui restent surjectifs sur les inversibles donc il est lui même surjectif sur les inversibles.

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