Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Théorème de Midy

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Solution by FiniteField · FR

  1. Puisque nn et 1010 sont premiers entre eux alors, par le théorème d’Euler,
    10φ(n)≡1mod  n.10^{\varphi(n)}\equiv 1\mod n.

Ainsi, ∃γ∈Z,γn=10φ(n)−1\exists \gamma\in\mathbb{Z}, \gamma n=10^{\varphi(n)}-1. L’écriture en base 1010 de 10φ(n)−110^{\varphi(n)}-1 est bien constituée de φ(n)\varphi(n) fois le chiffre 9.9.
2) Commençons par formuler le problème de façon précise. D’après la question précédente 106−110^6-1 est divisible par 77 car φ(7)=7−1=6.\varphi(7)=7-1=6. On a donc, sans surprise, 106×17−17=γ10^6\times\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{7}=\gamma qui est un entier strictement inférieur à 106.10^6. Son écriture en base 10310^3 est alors de la forme γ=a103+b\gamma=a10^3+b avec 0≤a,b<103.0\leq a,b<10^3. L’objectif est de montrer que a+b=999.a+b=999.
On remarque que 10≡3mod  710\equiv 3\mod 7 donc 103≡33≡−1mod  7.10^3\equiv 3^3\equiv -1\mod 7. Ainsi, il existe 1≤m<1031\leq m<10^3 tel que 1037+17=m\dfrac{10^3}{7}+\dfrac{1}{7}=m En multipliant par 10310^3 on a
1067+1037=1067+(m−17)=103m donc γ=106−17=103m−m.\dfrac{10^6}{7}+\dfrac{10^3}{7}=\dfrac{10^6}{7}+\left(m-\dfrac{1}{7}\right)=10^3m\text{ donc }\gamma=\dfrac{10^6-1}{7}=10^3m-m.On en déduit que l’écriture en base 10310^3 de γ\gamma est γ=(m−1)103+103−m\gamma=(m-1)10^3+10^3-m si bien que a+b=m−1+103−m=999.a+b=m-1+10^3-m=999.
Pour 27\dfrac{2}{7} ou, plus généralement k7\dfrac{k}{7} pour 1≤k≤61\leq k\leq 6, on aurait toujours k(103+1)7=mk\dfrac{k(10^3+1)}{7}=m_k et on aura toujours, avec les mêmes calculs, a+b=mk−1+103−mk.a+b=m_k-1+10^3-m_k. La condition 1≤k≤61\leq k\leq 6 étant là pour assurer le fait que 1≤mk<103.1\leq m_k<10^3.
Enfin pour 113\dfrac{1}{13} il suffit de remarquer que 102≡−4mod  1310^2\equiv -4\mod 13 donc 103≡−40≡−1mod  1310^3\equiv -40\equiv -1\mod 13 ce qui nous permet de faire les mêmes calculs que pour 17.\dfrac{1}{7}. Plus généralement pour tout diviseur premier de 10011001 à savoir 7,117,11 et 1313 on aura la même chose.
3) On va essayer de faire la même chose que dans la question précédente. On va commencer par déterminer l’ordre de 1010 dans (Z/17Z)×.(\mathbb{Z}/17\mathbb{Z})^\times. On remarque déjà que son ordre divise φ(17)=16\varphi(17)=16, donc c’est une puissance de 2.2. On a 102=100≡−2mod  1710^2=100\equiv -2 \mod 17 donc 108≡16≡−1mod  1710^8\equiv 16\equiv -1\mod 17. On en déduit que 1010 est d’ordre 1616 modulo 1717 donc que l’écriture périodique de k17\dfrac{k}{17} a une période d’ordre 16.16. Puisque 108+110^8+1 est de la forme 17m17m on peut alors refaire les mêmes calculs que dans la question précédente ce qui donnera 1016−1=17γ10^{16}-1=17\gamma avec γ=a108+b\gamma=a10^8+b avec a+b=m−1+108−m=108−1a+b=m-1+10^8-m=10^8-1. En effet, on a
117=0,0588235294117647⏟0588235294117647⏟…\dfrac{1}{17}=0,\underbrace{0588235294117647}\underbrace{0588235294117647}\dotsOn voit donc bien que, conformément à nos attentes l’écriture décimale à une période de 1616. De plus, on a bien 05 882 352+94 117 647=99 999 99905~882~352+94~117~647=99~999~999. Plus généralement, ce qu’on a fait permet de montrer le résultat suivant
Théorème. Soit pp un nombre premier impair tel que la classe de 1010 est d’ordre pair 2r2r dans (Z/pZ)×(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times alors l’écriture décimale de 1p\dfrac{1}{p} est périodique de période (a1…arb1…br)(a_1\dots a_rb_1\dots b_r) avec
(a1…ar)10+(b1…br)10=999…999⏟r fois.(a_1\dots a_r)_{10}+(b_1\dots b_r)_{10}=\underbrace{999\dots 999}_{r\text{ fois}}.En effet, on aura 10r≡−1mod  p10^r\equiv -1 \mod p puisque 10r10^r sera racine dans Fp[X]\mathbb{F}_p[X] du polynôme X2−1X^2-1 qui a pour seules racines −1-1 et 11. Cela ne peut pas être 11 car sinon l’ordre de 1010 diviserait r.r. Le reste de la preuve est exactement comme le cas de 77 dans la question 2.

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