Théorème de Midy

1. Puisque $n$ et $10$ sont premiers entre eux alors, par le théorème d’Euler,
   $$10^{\varphi(n)}\equiv 1\mod n.$$

Ainsi, $\exists \gamma\in\mathbb{Z}, \gamma n=10^{\varphi(n)}-1$. L’écriture en base $10$ de $10^{\varphi(n)}-1$ est bien constituée de $\varphi(n)$ fois le chiffre $9.$
2) Commençons par formuler le problème de façon précise. D’après la question précédente $10^6-1$ est divisible par $7$ car $\varphi(7)=7-1=6.$ On a donc, sans surprise, $10^6\times\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{7}=\gamma$ qui est un entier strictement inférieur à $10^6.$ Son écriture en base $10^3$ est alors de la forme $\gamma=a10^3+b$ avec $0\leq a,b<10^3.$ L’objectif est de montrer que $a+b=999.$
On remarque que $10\equiv 3\mod 7$ donc $10^3\equiv 3^3\equiv -1\mod 7.$ Ainsi, il existe $1\leq m<10^3$ tel que $\dfrac{10^3}{7}+\dfrac{1}{7}=m$ En multipliant par $10^3$ on a
$$\dfrac{10^6}{7}+\dfrac{10^3}{7}=\dfrac{10^6}{7}+\left(m-\dfrac{1}{7}\right)=10^3m\text{ donc }\gamma=\dfrac{10^6-1}{7}=10^3m-m.$$On en déduit que l’écriture en base $10^3$ de $\gamma$ est $\gamma=(m-1)10^3+10^3-m$ si bien que $a+b=m-1+10^3-m=999.$
Pour $\dfrac{2}{7}$ ou, plus généralement $\dfrac{k}{7}$ pour $1\leq k\leq 6$, on aurait toujours $\dfrac{k(10^3+1)}{7}=m_k$ et on aura toujours, avec les mêmes calculs, $a+b=m_k-1+10^3-m_k.$ La condition $1\leq k\leq 6$ étant là pour assurer le fait que $1\leq m_k<10^3.$
Enfin pour $\dfrac{1}{13}$ il suffit de remarquer que $10^2\equiv -4\mod 13$ donc $10^3\equiv -40\equiv -1\mod 13$ ce qui nous permet de faire les mêmes calculs que pour $\dfrac{1}{7}.$ Plus généralement pour tout diviseur premier de $1001$ à savoir $7,11$ et $13$ on aura la même chose.
3) On va essayer de faire la même chose que dans la question précédente. On va commencer par déterminer l’ordre de $10$ dans $(\mathbb{Z}/17\mathbb{Z})^\times.$ On remarque déjà que son ordre divise $\varphi(17)=16$, donc c’est une puissance de $2.$ On a $10^2=100\equiv -2 \mod 17$ donc $10^8\equiv 16\equiv -1\mod 17$. On en déduit que $10$ est d’ordre $16$ modulo $17$ donc que l’écriture périodique de $\dfrac{k}{17}$ a une période d’ordre $16.$ Puisque $10^8+1$ est de la forme $17m$ on peut alors refaire les mêmes calculs que dans la question précédente ce qui donnera $10^{16}-1=17\gamma$ avec $\gamma=a10^8+b$ avec $a+b=m-1+10^8-m=10^8-1$. En effet, on a
$$\dfrac{1}{17}=0,\underbrace{0588235294117647}\underbrace{0588235294117647}\dots$$On voit donc bien que, conformément à nos attentes l’écriture décimale à une période de $16$. De plus, on a bien $05~882~352+94~117~647=99~999~999$. Plus généralement, ce qu’on a fait permet de montrer le résultat suivant
Théorème. Soit $p$ un nombre premier impair tel que la classe de $10$ est d’ordre pair $2r$ dans $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ alors l’écriture décimale de $\dfrac{1}{p}$ est périodique de période $(a_1\dots a_rb_1\dots b_r)$ avec
$$(a_1\dots a_r)_{10}+(b_1\dots b_r)_{10}=\underbrace{999\dots 999}_{r\text{ fois}}.$$En effet, on aura $10^r\equiv -1 \mod p$ puisque $10^r$ sera racine dans $\mathbb{F}_p[X]$ du polynôme $X^2-1$ qui a pour seules racines $-1$ et $1$. Cela ne peut pas être $1$ car sinon l’ordre de $10$ diviserait $r.$ Le reste de la preuve est exactement comme le cas de $7$ dans la question 2.