Soient deux poteaux parallèles P1 et P2 fichés en terre et distants entre eux de 1,366025 mètre.
Le point A est le sommet du poteau P1.
Une tige ABC, d’extrémités A et C, articulée en son milieu B et longue de 2 mètres au total, est suspendue au sommet A du poteau P1.
La tige ABC peut tourner autour du point fixe A, sommet du poteau P1.
L’extrémité C de la tige articulée ABC est reliée au poteau P2, où cette extrémité peut coulisser librement sur une portion de P2, sans frottement.
Ainsi suspendue la tige articulée ABC longue de 2 mètres, accrochée en A au poteau P1 et coulissant sur le poteau P2, se met en équilibre. Lorsque la tige articulée ABC se positionne en équilibre entre les deux poteaux elle dessine un angle précis en B .. Quelle est la valeur de cet angle en B ?
Solutions
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Solution by Alixiane
Je poste la solution de Black Jack :
"Avec A comme origine et axe des ordonnées vertical vers le bas :
Soit theta1 l’angle entre l’horizontale et AB
Soit theta2 l’angle entre l’horizontale et BC
Soit alpha l’angle (ABC)
On a : cos(theta1) + cos(theta2) = 1,366025 (1)
Hauteur du centre de gravité de AB : y1 = 1/2.sin(theta1)
Hauteur du centre de gravité de BC : y2 = sin(theta1) + 1/2.sin(theta2)
Hauteur du centre de gravité de la tige ABC : yG = y1 + y2
yG = 3/4.sin(theta1) + 1/4.sin(theta2) (2)
On éliminant theta2 entre (1) et (2), on obtient : yG = 3/4.sin(theta1) + 1/4 * sqrt(1 - (1,366025-cos((theta1))²)
On aura équilibre lorsque G sera au plus bas possible --> on cherche l’extrema de yG en dérivant yG par rapport à theta1 (et on cherche son zéro).
On trouve yG'(theta1) = 0 pour theta1 = 1,047198 rad, soit 60° et avec (1), on trouve theta1 = 30°
Or on a : alpha + theta1 + (90° - theta2) + 90° = 360° (la somme des angles d’un angle quadrilatère = 360°)
--> alpha = 180° - theta1 + theta2 = 180° - 60° + 30° = 150°
L’angle(ABC) = 150° "
Dessin commenté :
y1 repère le centre de gravité de AB (qui est au milieu de AB)
y2 repère le centre de gravité de BC (qui est au milieu de BC)
Le centre de gravité de l’ensemble est au milieu des 2 centres de gravité ci/dessus, donc son ordonnée est yG = (y1+y2)/2
On s’arrange ensuite pour éliminer theta 2 de la relation donnant yG ... et on cherche la valeur de theta 1 pour que G soit au plus bas (simple étude des variation de la fonction yG = f(thera1)).
Ce theta1 trouvé, on en déduit theta2 et l’angle(ABC) demandé.
Quant au niveau nécessaire, je n’en sais rien. Quand j’étais en Secondaire (il y a 5 décennies), on pouvait faire cela en Seconde (mais ce n’était pas en France).
Maintenant et en France ... je ne sais pas.