Two-sided ideals of a matrix ring

On note $E_{k\ell}$ la matrice élémentaire dont le seul coefficient non nul vaut $1$, en position $(k,\ell)$. On a
$$E_{ki}\,M\,E_{j\ell}=m_{ij}\,E_{k\ell}\qquad\text{pour tout } M=(m_{ij})\in M_n(A),$$Soit $I$ un idéal de $A$. L’ensemble $M_n(I)$ est un sous-groupe additif, et pour $B\in M_n(A)$, $M\in M_n(I)$,
$$(BM)_{ij}=\sum_{k}b_{ik}m_{kj}\in I,\qquad (MB)_{ij}=\sum_{k}m_{ik}b_{kj}\in I,$$Soit $J$ un idéal bilatère de $M_n(A)$ et posons
$$I=\{a\in A\ :\ aE_{11}\in J\}.$$$I$ est un idéal de $A$. Il contient $0$ et est stable par addition puisque $J$ l’est. Pour $a\in I$ et $b\in A$, on a $(bE_{11})(aE_{11})=baE_{11}\in J$, car $J$ est un idéal à gauche : donc $ba\in I$.

$J\subseteq M_n(I)$. Si $M\in J$, la règle fondamentale donne $m_{ij}E_{11}=E_{1i}\,M\,E_{j1}\in J$ par bilatéralité, donc $m_{ij}\in I$ pour tous $i,j$.

$M_n(I)\subseteq J$. Si $a\in I$, alors $aE_{k\ell}=E_{k1}(aE_{11})E_{1\ell}\in J$ pour tous $k,\ell$, et toute matrice de $M_n(I)$ est une somme de telles matrices.

D’où $J=M_n(I)$. $\blacksquare$

L’application $I\mapsto M_n(I)$ est injective, puisque $I$ se lit sur les coefficients en position $(1,1)$ des éléments de $M_n(I)$. Elle établit donc une bijection croissante entre les idéaux de $A$ et les idéaux bilatères de $M_n(A)$.